Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про угол, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое угол, углов , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия.
У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла) .
Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки.
угол " src="/th/25/blogs/id3328/0_1.jpg" />
Угол обозначается тремя точками «угол AOB»: берется одна любая точка на одном из лучей угла (точка А), вершина угла (точка О) и одна любая точка на другом луче угла (точка В). Можно обозначить это угол как «угол ВОА». Запись «угол АОВ» и «угол ВОА» обозначают один и тот же угол. В место слова угол употребляют знак ∠. Угол АОВ можно записать так:
1. ∠АОВ, ∠ВОА ;
2. ∠О – точка О вершина угла;
3. ∠(ab) – a и b лучи угла.
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая часть называется плоским углом. Дополнительными углами называются плоские углы с общими сторонами.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Угол СОD – развернутый угол с вершиной О.
Говорят, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. Луч с исходит из точки О, проходит между сторонами угла ab и пересекает отрезок АВ.
Аксиома
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер
углов , на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Углы измеряются в градусах.
Угол (ab) равен сумме углов (ac) и (cb). ∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb).
Аксиома
От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Для обозначения угла имеется общепринятый символ: 
предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.
В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертеж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.
Также часто угол обозначают тремя символами точек, например 
В такой записи 
— вершина, а 
и 
— точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчета углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. вариации и обобщения.
Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, 
— здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника 
, α, который надо было бы обозначить 
.
Так, для рисунка справа записи γ, 
и 
означают один и тот же угол.
Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.
На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчета угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединенными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.
Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещен полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовем прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовем сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:
В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение 
а для величины меры измерения этого угла — обозначение 
Угол измеряют:
Наиболее распространенная градусная мера — градус, минута, секунда, в которой за 1° принимается 1/180 от развернутого угла (см. ниже), одна минута 
, и одна секунда 
. Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор — универсал/теодолит).
Радианная мера угла — отношение длины s стягивающей дуги к ее радиусу r (системная). Радианная мера используется в математическом анализе (например, как числовой аргумент тригонометрических функций и при определении числовых (табличных и графических) значений обратных аркфункций), в планиметрии и механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, — колебаний, волн и так далее).
Углы можно измерять также в оборотах. Один оборот — это полный угол (то есть угол в 360 градусов). Про произвольный угол говорят, что он составляет x оборотов, если x — отношение длины s дуги, стягивающей угол, к длине L окружности, содержащей эту дугу.
Градовая мера измерения углов была предложена к применению исторически, в настоящее время почти нигде не используется, поскольку не вытеснила более распространенную шестидесятеричную градусную.
Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону, где использовалась шестидесятеричная система счисления, следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.
В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.
В морской терминологии углы измеряются в румбах. 1 румб равен 1⁄32 от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.
В астрономии угол прямого восхождения и часовой угол в экваториальной системе координат измеряются в часах, минутах и секундах (составляющих соответственно 1⁄24, 1⁄1440 и 1⁄86 400 полной окружности); это связано с угловой скоростью осевого вращения Земли, составляющей приблизительно 1 оборот за 24 часа . Таким образом, за один час (минуту, секунду) времени небесная сфера «поворачивается» примерно на 1 час (минуту, секунду) в угловой мере. Остальные угловые величины в астрономии выражаются обычно в градусах, минутах и секундах дуги. Одна секунда (минута) прямого восхождения равна 15 секундам (минутам) дуги.
В артиллерии и оружейном деле используются также тысячные и деления угломера.
В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000). В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.
Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:
Иногда углы (например, угол уклона поверхности) измеряют не собственно угловой мерой, а ее тангенсом (или синусом), то есть отношением подъема по наклонной плоскости к проекции на горизонталь пройденного по ней пути (или к самому этому пути). Для обычного случая малых углов уклона это отношение примерно равно углу, выраженному в радианах (tg α ≈ sin α ≈ α, при α < 0,1 разница между этими величинами менее 1 %). При этом отношение выражается обычно в процентах или промилле. Например, уклон дороги в 10 % означает, что на каждые 100 метров пути (в проекции на горизонталь) дорога поднимается на 10 м; угол к горизонту равен arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радиана. Такой способ измерения углов не является, строго говоря, угловой мерой, так как не обладает свойством аддитивности (см. выше). Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря! приближения для малых углов[en].
Одним из самых распространенных инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка — см. ниже); как правило, он используется для построения угла определенной величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:
Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удаленными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов — ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) — расстояние между кончиками разведенных большого и указательного пальца (пядь), а угловое расстояние от конца мизинца до конца большого пальца равно примерно четверти прямого угла. Это усредненные данные . Рекомендуется уточнить их для своей собственной руки.
Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением, то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги (~10−11 радиана).
Решение задач простым способом
Как измерить угол (например, на карте) с помощью сторон треугольника (например, при отсутствии инженерного/тригонометрического калькулятора (и таблиц) и отсутствии ПК (MS Office Excel) для вычисления cos) и подручными средствами — линейки с миллиметровыми делениями?
По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Длина этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной (приемлемой) точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон (в равнобедренном треугольнике — медиана -биссектриса, она же является высотой).
Как измерить угол линейкой (при визуальном ориентировании на местности …и сравнить угол по карте — см. пункт 1)?
Поместите линейку с миллиметровыми делениями перед собой на расстоянии 57 см (не более 60 см) от глаза. В этом случае деление , равное 1 см, будет соответствовать углу визирования в 1°. В справедливости данного способа вы легко убедитесь, если помните, что дуга центрального угла в 1° составляет примерно 1/57 часть радиуса. Точность измерения углов с помощью линейки (также как и с помощью пальцев; см. ниже) зависит от точности положения линейки (или пальцев) на необходимом расстоянии от глаза. В этом можно быстро натренироваться с помощью нитки, длина которой соответствует расстоянию от глаза до пальцев вытянутой руки.
Как можно измерять и откладывать на местности углы без применения угломерных приборов?
Наиболее просто это можно сделать сравнением измеряемого угла с прямым. Прямой угол вы можете отложить направлениями рук, одна из которых вытянута вдоль плеч, а вторая с поднятым большим пальцем направлена так, чтобы палец правой руки был перед правым глазом (соответственно палец левой руки — перед левым глазом). Прямой угол можно глазомерно поделить на две или три равные части, каждая из которых будет соответствовать 45° или 30°.
Меньшие значения углов можно отложить или измерить на местности следующим приемом. Прежде всего измерьте линейкой ширину трех сомкнутых пальцев своей руки: указательного, среднего и безымянного. Если она у вас будет равна 6 см, то при вытянутой на 60 см руке угол визирования на них составит примерно 6°. Соответственно угол визирования на каждый из этих трех пальцев будет равен в среднем 2°. Если же ширина трех пальцев получится у вас, например, 5 см, то, чтобы углы визирования были такими же, руку надо вытягивать на 50 см.
При вытянутой руке угол визирования на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом, составляет примерно 15°. Как это проверить и уточнить?
Прежде всего заметьте на местности ориентир и от него отложите угол 90°. Это можно сделать приемом, описанным в предыдущей задаче. Затем от ориентира отложите шесть углов по 15° визированием на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом. Последнее отложение угла должно составить на местности прямой угол. Если этого точно не получилось, нужно повторить отложения, держа вытянутую руку немного ближе или дальше от глаза (порядка 60 см). Этим самым вы определите расстояние, на которое нужно вытягивать руку для отложения угла 15° .
Углы также можно вычислить (рассчитать) с помощью различных измерительных приборов и приспособлений — посредством тригонометрии на счетной линейке, инженерном калькуляторе (в том числе калькулятор (Windows)), с помощью функций таблицы MS Office Excel: (1) cos, (2) затем arccos, и (3) перевести, также функциями, значение радианов в градусы (°) (при наличии ПК; существуют и on-line-вычисление углов треугольника по заданным сторонам); Существуют также специальные тригонометрические таблицы: sin, cos, а также arccos, arcsin, последние, кстати, могут быть (в том числе и чаще всего) с перерасчетом в градусы.
В аналитической геометрии угол между прямыми в координатной плоскости, например, задается уравнением:
(см. Линейная функция; см. также #Угол и скалярное произведение)
Угол широко используется в строительстве, астрономии, навигации в воздухе и море, космонафтике, добыче ископаемых, установке спутниковых антенн, и других математических расчетах связанные стригонометрией, планеметрией и стереометрией. Его применяют инженеры, программисты,столяры, плотники и монтажники,. С его помощью можно выставить плоскости идеально ровно перед их закреплением. Подавляющее большинство предметов, которые используются в быту, и на промышленных объектах, имеют углы по 90 градусов. Это установленный международный стандарт , который обеспечивает максимальное удобство. Кроме этого, несоблюдение угла 90 градусов в строительстве вертикальных элементов увеличивает нагрузку на конструкцию.
Например: Благодаря тому, что углы зданий вымеряются точно, то при установке угловой ванны, под стеной не образуется зазор и при развешивании шкафчиков и полок все выглядит ровно. Существует еще тысячи примеров, которые позволяют визуализировать пользу точного соблюдения углов. Применение угломеров позволяет обеспечить точную передачу параметров отображенных на чертеже на реальный объект .
Также угломеры используется при построении маршрутов, в военном деле, геометрии и астрономии. В связи с востребованностью этого инструмента, его конструкция была адаптирована под различные цели измерения.
Я что-то не договорил про угол, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое угол, углов и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия
Комментарии
Оставить комментарий
Планометрия
Термины: Планометрия