Антибиссектриса угла треугольника кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое антибиссектриса угла треугольника , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое антибиссектриса угла треугольника , антибиссектриса , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия.

антибиссектриса угла треугольника (от лат. anti, bi- «двойное» и sectio «разрезание») — определенный луч с началом в вершине угла, делящий угол на два угла.

Антибиссектриса внутреннего угла — геометрическое место точек внутри угла, расстояния которых до двух сторон угла обратно пропорциональны квадратам этих сторон.

В треугольнике под антибиссектрисой угла может также пониматься отрезок антибиссектрисы этого угла до ее пересечения с противолежащей стороной.

Замечание

Как и биссектрисы, антибиссектрисы можно провести не только к внутренним, но и к внешним углам треугольника. При этом сохраняется свойство их взаимной изотомичности или изотомической сопряженности.

История

Антибиссектрисы треугольника впервые введены Óканем (D’Ocagne).

Свойства

• Теорема об антибиссектрисе: Антибиссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, обратно пропорциональны длинам этих сторон двух прилежащих сторон.
• Антибиссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к биссектрисе того же угла.
• Две чевианы (прямые) треугольника, будучи проведенными из одной вершины, основания которых равноудалены от середины стороны, которую они пересекают, называются изотомически сопряженными или изотомическими. Биссектриса и антибиссектриса одного внутреннего угла треугольника изотомически сопряжены друг другу.
• Антибиссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре антибиссектрис.
• Отрезки сторон треугольника, заключенные между прямыми, проведенными через центр антибиссектрис параллельно сторонам, равны между собой.
• Антибиссектриса треугольника проходит через основание биссектрисы дополнительного треугольника.

Несколько метрических соотношений относительно антибиссектрисы, антисимедиана, антивысота и их изогональность

Мы предполагаем известными определения изогонального чевиана и изометрического чевиана; мы напомним, что антибиссектриса, антисимедиана и антивысота являются изометриками биссектриса симедианы и высоты в треугольнике.
Также известно следующее соотношение Штейнера (1828 г.) для изогональных чевиан

и

Теперь мы докажем, что существует аналогичное соотношение для изометрических чевианов.

Предложение
Рассмотрим в треугольнике ABC Пусть и два изометрических чевиана, то существует следующее соотношение:

Доказательство

рисунок 1
Из теоремы о синусе, примененной к треугольникам ABA₁, ACA₁, следует (см. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Рисунок выше)

Из соотношений (1) и (2) сохраняем

Теорема синуса применяется в треугольниках приводит к

Из соотношений (4) и (5) получаем:

Потому что и чевианы изометричны из соотношений (3) и (6) мы получаем соотношение (*) из формулировки предложения.

Приложения
1. Если AA1 - биссектриса в треугольнике ABC и его изометричный, то есть антибиссектриса, то из (*) получаем

Учитывая теорему о синусе в треугольнике ABC, получаем

2. Если симедиана и - антисимедиана, из (*) получаем

Действительно, будучи симмедианной, является изогональной медианы AM и

3. Если - высота в треугольнике ABC, и - его изометрия (антивысота), соотношение (*) становится.

На самом деле

следовательно

Из (*) получается

или

следовательно

4. Если - изогональ антибиссектрисы тогда

(Морис Д’Окань, 1883)

Доказательство
Соотношение Штейнера для и - это

Но - биссектриса и согласно теореме о биссектрисе
но и поэтому

и получаем соотношение Д’Оканя

5. Если в треугольнике ABC чевиан изогональна симедиане тогда

Доказательство
Поскольку AA₁ - симедиана, из отношения Штейнера мы выводим, что

Соотношение Штейнера для дает нам

Учитывая прецедентное соотношение, получаем

6. Если - изогональ анти-высоты в треугольнике ABC, в котором высота AA₁ имеет , тогда

Доказательство
Если AA₁ высота в треугольнике ABC , то

Потому что антимедиана, имеем и тогда

Наблюдение
Прецедентные результаты могут быть обобщены для античевианов ранга k и их изогональный.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Биссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника

• антисиммедиана

• антивысоты

• Инцентр
• Медиана
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Теорема о биссектрисе
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник
• Треугольник трех внешних биссектрис
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Центроид
• Чевиана

Исследование, описанное в статье про антибиссектриса угла треугольника , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое антибиссектриса угла треугольника , антибиссектриса и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия