Гомотетия в планометрии

Лекция

Привет, сегодня поговорим про гомотетия, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое гомотетия , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия.

В математике (планометрии) гомотетия (или гомотеция , или гомогенное расширение ) — это преобразование аффинного пространства , определяемого точкой S , называемой его центром , и ненулевым числом k, называемым его отношением , которое переводит точку X в точку X ′ по правилу . ${\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}$ Гомотетия в планометрии за фиксированное число $k\neq 0$

Гомотетия в планометрии

Пусть есть некая фигура F и фиксированная точка O. Проведем через произвольную точку A фигуры F полупрямую OA и отложим на ней отрезок OA` = k*OA, k>0. Преобразование фигуры F, при котором любая ее точка A переходит в точку A`, построенную данным способом называется гомотетией относительно точки O. Число k – коэффициент гомотетии.

Гомотетия в планометрии

Однородность: Пример с k > 0. k = 1 соответствует тождественному выражению (точка не перемещается); k > 1 — увеличению ; k < 1 — уменьшению.

Гомотетия в планометрии

Пример с k < 0. k = −1 соответствует точечному отражению в точке S.

Гомотетия в планометрии

гомотетия пирамиды

Свойства

Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Поэтому вместо «коэффициент гомотетии $k$ » можно говорить «коэффициент подобия $k$ ».
Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как $A'B'/AB=B'C'/BC=k$ , то их площади будут относиться как $k^{2}$ (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
Композиция гомотетий с коэффициентами $k_{1}$ и $k_{2}$ , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом $k_{1}k_{2}$ , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Коэффициент k	Что происходит
k > 1	Фигура увеличивается, остается по ту же сторону от центра
0 < k < 1	Фигура уменьшается, остается по ту же сторону
k = 1	Фигура не меняется
k = -1	Центральная симметрия
k < -1	Фигура увеличивается и переходит на другую сторону
-1 < k < 0	Фигура уменьшается и переходит на другую сторону

Вариации и обобщения

Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берется композиция, несущественен, так как $R_{O}^{\varphi }\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{k}\circ R_{O}^{\varphi }$ . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как $R_{O}^{180^{\circ }}\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{-k}$ .

Простое объяснение

Представим, что есть точка O, от которой расходятся лучи. На одном луче лежит точка A.

Если применить гомотетию с коэффициентом k = 2, то точка A' окажется на том же луче, но в два раза дальше от O.

Если k = 3, то точка уйдет в три раза дальше.

Если k = 1/2, то точка приблизится к центру в два раза.

То есть гомотетия похожа на увеличение или уменьшение фигуры относительно одной точки.

Гомотетия в планометрии

Положительный коэффициент гомотетии

Если k > 0, то точка A' находится на том же луче, что и точка A.

Например:

k = 2

Точка A' находится в два раза дальше от центра O, чем точка A.

Схематично:

O —— A —— A'

Если k = 1/2, то точка A' лежит между O и A.

O —— A' —— A

При положительном коэффициенте фигура сохраняет свое направление, но меняет размер.

Отрицательный коэффициент гомотетии

Если k < 0, то точка A' находится на прямой OA, но по другую сторону от центра O.

Например:

k = -2

A —— O —— A'

При отрицательном коэффициенте фигура не только изменяет размер, но и оказывается по другую сторону от центра.

Это похоже на увеличение или уменьшение с «переворотом» через центр.

Частные случаи коэффициента

k = 1

Фигура переходит сама в себя. Никаких изменений не происходит.

A = A'

k = -1

Это центральная симметрия относительно точки O.

A —— O —— A'

При этом:

OA = OA'

0 < k < 1

Фигура уменьшается и приближается к центру.

k > 1

Фигура увеличивается и удаляется от центра.

k < -1

Фигура увеличивается и переносится на противоположную сторону от центра.

-1 < k < 0

Фигура уменьшается и переносится на противоположную сторону от центра.

Гомотетия фигуры

Гомотетия применяется не только к одной точке, но и ко всей фигуре.

Если есть треугольник ABC, то после гомотетии получим треугольник A'B'C'.

Каждая вершина переходит по правилу:

A → A'
B → B'
C → C'

Причем:

O, A, A' лежат на одной прямой
O, B, B' лежат на одной прямой
O, C, C' лежат на одной прямой

И расстояния изменяются в одно и то же число раз:

OA' = |k| · OA
OB' = |k| · OB
OC' = |k| · OC

Главное свойство гомотетии

Гомотетия переводит фигуру в подобную фигуру.

Это значит, что форма сохраняется, но размеры могут измениться.

Например:

квадрат переходит в квадрат,
треугольник — в подобный треугольник,
окружность — в окружность,
отрезок — в параллельный отрезок.

Что сохраняется при гомотетии

При гомотетии сохраняются:

1. Углы

Если у треугольника был угол 40°, то после гомотетии соответствующий угол тоже будет 40°.

2. Параллельность прямых

Если две прямые были параллельны, то их образы тоже будут параллельны.

3. Форма фигуры

Фигура не искажается. Она только увеличивается, уменьшается и иногда переносится на другую сторону от центра.

Что изменяется при гомотетии

Изменяются:

1. Длины отрезков

Все длины умножаются на |k|.

$A'B' = |k| \cdot AB$ A′B′=∣k∣⋅AB

Например, если сторона треугольника была 5 см, а k = 3, то новая сторона будет:

5 · 3 = 15 см

2. Периметр

Периметр тоже умножается на |k|.

P' = |k| · P

3. Площадь

Площадь изменяется в k² раз.

$S' = k^2 \cdot S$ S′=k2⋅S

Например, если площадь фигуры была 10 см², а k = 2, то новая площадь будет:

S' = 2² · 10 = 40 см²

Важно: площадь всегда изменяется в положительное число раз, потому что используется квадрат коэффициента.

Гомотетия и подобие

Гомотетия тесно связана с подобием фигур.

Если одна фигура получается из другой с помощью гомотетии, то эти фигуры обязательно подобны.

Например, если треугольник A'B'C' получен из треугольника ABC гомотетией с коэффициентом k = 2, то:

A'B' / AB = B'C' / BC = A'C' / AC = 2

А соответствующие углы равны:

∠A = ∠A'
∠B = ∠B'
∠C = ∠C'

То есть гомотетия — это один из способов получить подобные фигуры.

Гомотетия окружности

При гомотетии окружность переходит в окружность.

Если окружность имеет центр C и радиус R, то ее образ будет окружностью с центром C' и радиусом R'.

Радиус изменяется по формуле:

R' = |k| · R

Например, если радиус окружности равен 4 см, а коэффициент гомотетии k = 3, то новый радиус:

R' = 3 · 4 = 12 см

Центр окружности тоже переходит в новую точку C' по правилу гомотетии.

Как построить образ точки при гомотетии

Пусть дана точка A, центр гомотетии O и коэффициент k.

Случай k > 0

Провести луч OA.
Отложить на этом луче расстояние OA' = k · OA.
Полученная точка A' — образ точки A.

Случай k < 0

Провести прямую OA.
Взять луч, противоположный лучу OA.
Отложить расстояние OA' = |k| · OA.
Полученная точка A' — образ точки A.

Как построить образ треугольника

Пусть дан треугольник ABC, центр гомотетии O и коэффициент k = 2.

Нужно построить треугольник A'B'C'.

Порядок действий:

Провести лучи OA, OB, OC.
На луче OA отложить точку A', чтобы OA' = 2 · OA.
На луче OB отложить точку B', чтобы OB' = 2 · OB.
На луче OC отложить точку C', чтобы OC' = 2 · OC.
Соединить точки A', B', C'.

Получится треугольник, подобный исходному, но увеличенный в 2 раза.

Пример задачи

Задача.

Дан треугольник ABC. Его стороны равны:

AB = 4 см
BC = 6 см
AC = 7 см

К треугольнику применили гомотетию с коэффициентом k = 3.

Найдите стороны нового треугольника.

Решение.

При гомотетии все длины умножаются на |k|.

A'B' = 3 · 4 = 12 см
B'C' = 3 · 6 = 18 см
A'C' = 3 · 7 = 21 см

Ответ:

12 см, 18 см, 21 см

Пример с площадью

Задача.

Площадь квадрата равна 25 см². Квадрат подвергли гомотетии с коэффициентом k = 4.

Найдите площадь нового квадрата.

Решение.

Площадь изменяется в k² раз.

S' = 4² · 25 = 16 · 25 = 400 см²

Ответ:

400 см²

Гомотетия в координатах

Если центр гомотетии находится в начале координат O(0; 0), то точка A(x; y) переходит в точку:

$A'(kx; ky)$ A′(kx;ky)

Например, если:

A(2; 3)
k = 4

Тогда:

A'(8; 12)

Если k = -2, то:

A'(-4; -6)

Координатная формула для любого центра

Если центр гомотетии имеет координаты O(x₀; y₀), а точка A(x; y) переходит в точку A'(x'; y'), то:

x' = x₀ + k(x - x₀)
y' = y₀ + k(y - y₀)

Эта формула показывает, что мы берем вектор от центра O к точке A и умножаем его на k.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Забывают про знак коэффициента

Если k отрицательный, точка должна оказаться по другую сторону от центра.

Неправильно думать, что k = -2 просто означает увеличение в 2 раза. Это еще и перенос через центр.

Ошибка 2. Путают изменение длины и площади

Длины умножаются на |k|, а площади — на k².

Например, при k = 3 сторона увеличится в 3 раза, а площадь — в 9 раз.

Ошибка 3. Не проводят прямые через центр гомотетии

Образы точек всегда лежат на прямых, проходящих через центр гомотетии.

Ошибка 4. Считают, что гомотетия сохраняет расстояния

Гомотетия обычно не сохраняет расстояния. Она сохраняет форму, но меняет размеры.

Расстояния сохраняются только при k = 1 или k = -1.

Практическое значение и применение гомотетии

Гомотетия используется в разных задачах планиметрии:

при построении подобных фигур;
при решении задач на треугольники;
при работе с окружностями;
при доказательстве параллельности;
при вычислении отношений длин;
при нахождении площадей подобных фигур;
при геометрических построениях.

Также идея гомотетии встречается в черчении, архитектуре, компьютерной графике, масштабировании изображений и моделировании.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Аффинное преобразование
Коллинеарность
Непрерывное отображение
Отношение направленных отрезков
Подобие
Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)
Лемма Архимеда
Теорема Монжа

Я что-то не договорил про гомотетия, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое гомотетия и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия

Оставить комментарий

Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.

To reply

Comment

Для того, чтобы подтвердить, что вы не бот, ответьте:

Name

Email(not published)

Оценить