Прямая Симсона кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое прямая симсона , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое прямая симсона , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия.

прямая симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Ее существование опирается на теорему Симсона.

Прямая Симсона треугольника ABC

Теорема Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона .

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.

История

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.

Свойства

Прямые Симсона (красным цветом) являются касательными к дельтоиде Штейнера (синим цветом).

• Пусть — ортоцентр треугольника . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда прямая Симсона произвольной точки на описанной окружности треугольника делит отрезок пополам в точке, лежащей на окружности девяти точек.

• Если P и Q являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек P и Q равен половине угла дуги PQ.
  • В частности, если 2 точки на описанной окружности диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона также лежит на окружности девяти точек. При этом вторые точки пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона с окружностью девяти точек будут концами диаметра последней окружности.

• Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от P.

Прямая Симсона и треугольник Морлея

• На описанной окружности треугольника {\displaystyle ABC} существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника {\displaystyle ABC}, причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.

Прямая Симсона и прямая Штейнера

• Точки, симметричные точке P на описанной окружности относительно сторон треугольника лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр. Эта прямая (прямая Штейнера) параллельна прямой Симсона и переходит в нее при гомотетии с коэффициентом 1/2

Прямая Симсона и точка Фейербаха

• Точка Фейербаха, то есть точка касания вписанной или вневписанной окружности с окружностью девяти точек, является точкой пересечения двух прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. .
  • В частности, точки Фейербаха могут быть построены без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера.

Прямая Симсона и дельтоида

• Огибающая семейства прямых Симсона данного треугольника, есть дельтоида — так называемая дельтоида Штейнера.
  • Якоб Штейнер открыл дельтоиду, как частную гипоциклоиду, которая описывается произвольной фиксированной точкой окружности, которая катится без скольжения внутри окружности в 3 раза большего диаметра. А то, что множество всех возможных линий Симсона, которые могут быть изображены для данного треугольника, имеют огибающую в форме дельтоиды, открыто примерно 100 лет назад и совсем не Штейнером .

Прямая Симсона и ортополюс

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей.
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ

Уравнение прямой Симсона

• Помещая треугольник на комплексную плоскость, предположим, что треугольник ABC вписан в единичную окружность и имеет вершины, комплексные координаты которых есть a , b , c , и пусть P с комплексной координатой p является точкой на окружности. Тогда прямая Симсона описывается следующим уравнением на z:

  

где черта сверху указывает на комплексное сопряжение.

Вариации и обобщения

• Ни один выпуклый многоугольник, имеющий не менее 5 сторон, не имеет прямой Симсона.
• Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
• Прямую Симсона можно определить для любого вписанного -угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки относительно данного -угольника назовем прямую, содержащую проекции точки на прямые Симсона всех -угольников, полученных выбрасыванием одной вершины -угольника.
• Теорема Сальмона
• Подерный треугольник — треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника; в случае когда точка лежит на описанной окружности подерный треугольник вырождается и его вершины лежат на прямой Симсона.

• Пусть ABC — треугольник, и пусть прямая ℓ (зеленая на рисунке) проходит через центр X₃ описанной окружности, а точка P лежит на окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают прямую ℓ соответственно в точках A_p, B_p, C_p. Пусть A₀, B₀, C₀ представляют собой проекции точек A_p, B_p, C_p соответственно на прямые BC, CA, AB. Тогда 3 точки A₀, B₀, C₀ коллинеарные точки, то есть лежат на одной прямой. Кроме того, проходящая через них, прямая одновременно проходит через середину отрезка PH, где H является ортоцентром треугольника ABC. Если ℓ проходит через P, то прямая совпадет с прямой Симсона.

Примеры

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника параллельна прямой , а прямая Симсона точки Тарри перпендикулярна прямой , где — центр описанной окружности и — точка пересечения трех симедиан (точка Лемуана) треугольника .

Обобщение прямой Симсона

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Педальный треугольник
• Роберт Симсон
• Треугольник

Исследование, описанное в статье про прямая симсона , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое прямая симсона и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия