Операции в математике- арифметические, логические и в математическом анализе кратко

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про операции в математике, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое операции в математике, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, тетрация, пентация, радикал, звезда ходжа , настоятельно рекомендую прочитать все из категории введение в математику. основы.

Операция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображением множества на себя, имеющим замечательные свойства.

Опре деление

Операция — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств. Математически операцию можно записать какотображение ( и могут совпадать), где называется арностью операции.

Связанные определения

Арность

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является ее областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Алгебраической операцией называется операция , у которой и , где — арность, т.е. .

Свойства

Операции могут обладать или не обладать различными свойствами. Например:

• Коммутативность (переместительное свойство) — свойство операции «», когда .
• Антикоммутативность — например, операция вычитания, потому что .
• Ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции «», когда .
• Дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция сложения относительно умножения, так как .
• Транзитивность — операция «» транзитивна, если из соотношений и следует, что .
• Идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю, ибо .
• Аддитивность — если для функции верно, что , то функция аддитивна.
• Мультипликативность — если для функции верно, что , то функция мультипликативна.

Операции

• Операции
  • 1 Арифметические
  • 2 Математического анализа
  • 3 Логические
  • 4 Специальные операции

Арифметические

• сложение — бинарная операция, например .
• вычитание — обратная сложению операция, например .
• умножение — гипероперация сложения, например .как крестик (×), точку (⋅) или звездочку (∗).
• Деление — обратная умножению операция, например .Деление обозначается двоеточием , обелюсом , косой чертой или горизонтальной чертой.
• возведение в степень — гипероперация умножения, например .
• извлечение корня — обратная возведению в степень операция, например .
• Логарифмирование — вторая обратная возведению в степень операция, например .
• тетрация — гипероперация возведения в степень, например .
• Суперкорень и суперлогарифм — обратные операции тетрации.

Сложение и отрицание являются элементарными арифметическими операциями. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и ее обратные операции являются редко используемыми операциями четвертой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

Математического анализа

• Дифференцирование — нахождение производной функции, например .
• Интегрирование — обратно дифференцированию; нахождение первообразной функции, например .
• Сампирация -нахождение функции по ее корням.

Логические

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

• Отрицание () — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
• Конъюнкция () — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
• Дизъюнкция () — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

Специальные операции

1. Стрелочная нотация Кнута

Мои читатели, знакомые с миром больших, нет нереально больших, чисел конечно знакомы с этой математической операцией, но остальные - навряд ли. Итак:

Операция придумана для записи чисел, когда привычное нам возведение в степень уже не может выразить их масштаба. Для понимания того, насколько огромные числа можно записать с помощью нотации Кнута, приведу пример:

Числа возрастают не просто быстро, а невообразимо быстро!

Ах да! Стрелочек в нотации Кнута может быть и 3 и больше...намного больше.

2. Пропорциональность

Воскликните Вы: "Что же здесь нового?". Однако я больше чем уверен, что никому из Вас этот знак не встречался!

Да, все очень просто: одним знаком заменили знак равно и константу.

3. Супремум и инфимум

Аббревиатура из теории множеств (которую, кстати на своем канале пытаюсь рассказать доступно и с нуля). Пусть дано множество X, которое является подмножеством M, тогда

Cупремум - это наименьший элемент множества M, который больше любого элемента множества X. Пусть множество X= {1,2,3,4}, и оно входит в множество натуральных чисел N. Тогда супремумом множества X является 4 : действительно - это наименьшее из натуральных чисел, большее любого элемента из X. Обозначается sup(X).

Инфимум - это наибольший элемент множества M, который меньше любого элемента множества X. Пусть множество X= {3,4,5}, и оно входит в множество натуральных чисел R. Тогда инфимумом множества X является 3 : действительно - это наибольшее из натуральных чисел, меньшее любого элемента из X. Обозначается inf(X).

4. Сигнум

Естественно, что люди, знакомые с радиотехническими цепями очень часто используют эту аббревиатуру. Про остальных такого не скажу. Итак:

Сигнум - это кусочно-постоянная функция, принимающая всего лишь три значения. Например, sgn(5) = 1 , sgn (10!) = 1, sgn (-3,14) = -1 и только sgn(0)=0. Не кажется ли данная функция слишком простой и где она применяется, знаете?

5. радикал

Нет, это не знакомый всем со школьных времен корень. Это - нечто более интересное, но менее употребимое. По определению, радикалом числа является произведение его простых делителей. Обозначается rad(N).

Например, у числа 35 делители: 5 и 7, тогда rad(35) = 35. Возьмем число 504= 2^3 * 3^2 *7 - простые делители - это 2,3,7. Тогда rad(504) = 2*3*7=42.

Эта, казалось бы, простая математическая операция является одним из главных инструментов формулировки и доказательства ABC-гипотезы - чрезвычайно простой, но в тоже время пока недоказанной и важнейшей теоремой в области чисел, имеющей большое прикладное значение.

6. звезда ходжа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задает канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

Этот оператор был введен Вильямом Ходжем.

Примечания

1. ↑ Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Исследование операций
• Гипероператор
• тетрация
• пентация

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про операции в математике Надеюсь, что теперь ты понял что такое операции в математике, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, тетрация, пентация, радикал, звезда ходжа и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории введение в математику. основы

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про операции в математике