Парадокс Банаха — Тарского

Привет, Вы узнаете о том , что такое парадокс банаха — тарского, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое парадокс банаха — тарского , настоятельно рекомендую прочитать все из категории введение в математику. основы.

Парадокс Банаха — Тарского (также называется парадоксом удвоения шара и парадоксом Хаусдо́рфа — Банаха — Тарского) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трехмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Парадокс Банаха-Тарского является теорема в теоретико-множественном геометрии , в котором говорится следующее: Учитывая твердый шар в 3-мерном пространстве, существует разложение шара в конечное число непересекающихся подмножеств , которые затем могут быть возвращены вместе по-разному, чтобы получить две идентичные копии исходного мяча. Действительно, процесс повторной сборки включает в себя только перемещение и вращение деталей без изменения их формы. Однако сами по себе части - это не «твердые тела» в обычном понимании, а бесконечные россыпи точек. Реконструкция может работать всего с пятью частями.

Более сильная форма теоремы подразумевает, что для любых двух «разумных» твердых объектов (таких как маленький шар и огромный шар) отрезанные части одного из них могут быть повторно собраны в другой. Об этом часто говорят неофициально, так как «горошину можно измельчить и снова собрать в Солнце» и называют « парадоксом гороха и Солнца ».

Теорема Банаха – Тарского называется парадоксом потому, что она противоречит основной геометрической интуиции. «Удвоение мяч», разделив его на части и перемещая их вокруг по поворотам и переводов , без каких - либо растяжения, изгиба, или добавление новых точек, по- видимому, невозможно, так как все эти операции должно , интуитивно говоря, чтобы сохранить объем. Интуиция о том, что такие операции сохраняют объемы, не абсурдна с математической точки зрения и даже включена в формальное определение объемов. Однако здесь это не применимо, поскольку в этом случае невозможно определить объемы рассматриваемых подмножеств. Их повторная сборка воспроизводит объем, который отличается от объема в начале.

В отличие от большинства теорем в геометрии, доказательство этого результата критически зависит от выбора аксиом теории множеств. Это может быть доказано с помощью аксиомы выбора , которая позволяет строить неизмеримые множества , т. Е. Наборы точек, которые не имеют объема в обычном смысле и построение которых требует бесчисленного количества вариантов выбора.

В 2005 году было показано, что части в разложении могут быть выбраны таким образом, чтобы их можно было непрерывно перемещать на место, не сталкиваясь друг с другом.

Как независимо доказали Лерой и Симпсон ^, парадокс Банаха – Тарского не нарушает объемы, если работать с локали, а не с топологическими пространствами. В этой абстрактной настройке можно иметь подпространства без точки, но все же непустые. Части парадоксальной декомпозиции действительно сильно пересекаются в смысле локалей, настолько, что некоторым из этих пересечений следует придать положительную массу. Принимая во внимание эту скрытую массу, теория локалей позволяет удовлетворительно измерить все подмножества (и даже все подлокали) евклидова пространства.

Публикация Банаха и Тарского

В статье , опубликованной в 1924 г. Стефан Баны и Тарский дали конструкцию такого парадоксального разложения , основанную на более ранние работах по Джузеппе Витал о единичном интервале и парадоксальных разбиениях сферы по Хаусдорфу и обсуждены ряд связанных вопросов, касающихся разложений подмножеств евклидовых пространств в различных измерениях. Они доказали следующее более общее утверждение, сильную форму парадокса Банаха – Тарского :

Для любых двух ограниченных подмножеств A и B евклидова пространства по крайней мере в трех измерениях, оба из которых имеют непустую внутренность , существуют разбиения A и B на конечное число непересекающихся подмножеств,, (для некоторых целого числа к ), таким образом, что для каждого (целого числа) я между 1 и K , множеством _я и Б _я являюсь конгруэнтно .

Пусть теперь A - исходный шар, а B - объединение двух переведенных копий исходного шара. Тогда предложение означает , что вы можете разделить исходный шар А на определенное количество частей , а затем поворачиваетесь и перевести эти части таким образом , что результат всего набора B , который содержит две копии A .

Сильная форма парадокса Банаха – Тарского неверна в измерениях один и два, но Банах и Тарский показали, что аналогичное утверждение остается верным, если разрешено счетное число подмножеств. Разница между размерами 1 и 2, с одной стороны, и 3 и выше , с другой стороны, связано с более богатой структурой группы Е ( п ) в евклидовых движений в 3 -х измерениях. При n = 1, 2 группа разрешима , но при n ≥ 3 она содержит свободную группу с двумя образующими. Джон фон Нейманизучил свойства группы эквивалентностей, делающих возможным парадоксальное разложение, и ввел понятие аменабельных групп . Он также нашел форму парадокса на плоскости, в которой вместо обычных конгруэнций используются аффинные преобразования, сохраняющие площадь .

Тарский доказал, что аменабельные группы - это как раз те, для которых не существует парадоксальных разложений. Поскольку в парадоксе Банаха – Тарского нужны только свободные подгруппы, это привело к давней гипотезе фон Неймана , которая была опровергнута в 1980 году.

Официальное обращение

Парадокс Банаха – Тарского утверждает, что шар в обычном евклидовом пространстве можно удвоить, используя только операции разбиения на подмножества, замены множества конгруэнтным множеством и повторной сборки. Его математическая структура значительно выяснена, подчеркивая роль , которую играют группа из евклидовых движений и введения понятий равносоставленных множеств и парадоксальный набора . Предположим , что G является группой , действующий на множестве X . В наиболее важном частном случае X - n -мерное евклидово пространство (для целого n ), а G состоит из всехизометрии из X , т.е. преобразования X в себя , что сохранение расстояния, как правило , обозначается Е ( п ) . Две геометрические фигуры, которые могут быть преобразованы друг в друга, называются конгруэнтными , и эта терминология будет распространена на общее G- действие. Два подмножества A и B в X называются G -эквивалентно разложимыми или равноразложимыми относительно G , если A и B могут быть разбиты на одно и то же конечное число соответственно G-конгруэнтные кусочки. Это определяет отношение эквивалентности между всеми подмножествами X . Формально, если существуют непустые множества, такой, что

и есть элементы такой, что

,

то можно сказать , что и B являются G -equidecomposable с помощью K штук. Если в множестве E есть два непересекающихся подмножества A и B таких, что A и E , а также B и E являются G -эквивалентно разложимыми, то E называется парадоксальным .

Используя эту терминологию, парадокс Банаха – Тарского можно переформулировать следующим образом:

Трехмерный евклидов шар равносоставлен с двумя копиями самого себя.

Фактически, в этом случае есть резкий результат, благодаря Рафаэлю М. Робинсону : удвоение мяча может быть достигнуто с помощью пяти частей, и менее пяти частей будет недостаточно.

Сильная версия парадокса утверждает:

Любые два ограниченных подмножества трехмерного евклидова пространства с непустыми внутренностями равноразложимы.

Несмотря на то , по- видимому , более общий характер , это утверждение получено простым способом из удвоения шара, используя обобщение теоремы Бернштейна-Шредер Банаха , что подразумевает , что если равносоставлено с подмножеством B и B равносоставлено с а подмножество A , то A и B равноразложимы.

Парадокс Банаха-Тарского можно поместить в контекст, указав, что для двух множеств в сильной форме парадокса всегда существует биективная функция, которая может отображать точки одной формы в другую взаимно однозначным образом. . На языке Георг Кантор «s теории множеств , эти два множества имеют одинаковую мощность . Таким образом, если расширить группу, чтобы разрешить произвольные биекции X , то все множества с непустой внутренней частью станут конгруэнтными. Точно так же один шар можно превратить в больший или меньший шар, растягивая, или, другими словами, применяя преобразования подобия . Следовательно, если группа G достаточно велика, G-равномерно разложимые множества могут быть найдены, чьи "размеры" различаются. Более того, поскольку счетное множество может быть разделено на две копии самого себя, можно было ожидать, что использование счетного количества частей может каким-то образом помочь.

С другой стороны, в парадоксе Банаха – Тарского количество частей конечно, а допустимые эквивалентности - евклидовы сравнения, сохраняющие объемы. Но каким-то образом они удваивают объем мяча! Хотя это, конечно, удивительно, но некоторые из частей, используемых в парадоксальном разложении, являются неизмеримыми множествами , поэтому понятие объема (точнее, меры Лебега ) для них не определено, и разбиение не может быть выполнено на практике. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Фактически, парадокс Банаха – Тарского показывает, что невозможно найти конечно-аддитивную меру (или меру Банаха), определенное на всех подмножествах евклидова пространства трех (и более) измерений, которое инвариантно относительно евклидовых движений и принимает значение один на единичном кубе. В своей более поздней работе Тарский показал, что, наоборот, отсутствие парадоксальных разложений этого типа влечет существование конечно-аддитивной инвариантной меры.

Суть доказательства парадокса в форме «удвоения шара», представленного ниже, заключается в том замечательном факте, что с помощью евклидовой изометрии (и переименования элементов) можно разделить определенное множество (по сути, поверхность единичной сферы) на четыре части, затем поверните одну из них, чтобы она стала самой собой плюс две другие части. Это довольно легко следует из F ₂ -парадоксального разложения F ₂ , свободной группы с двумя образующими. Доказательство Банаха и Тарского опиралось на аналогичный факт, открытый Хаусдорфом несколькими годами ранее: поверхность единичной сферы в пространстве представляет собой несвязное объединение трех множеств B , C , D и счетного множества Eтаким образом, что, с одной стороны, В , С , D попарно конгруэнтны, а с другой стороны, Б сравнимо с объединением C и D . Это часто называют парадоксом Хаусдорфа .

Связь с более ранними работами и роль аксиомы выбора

Банах и Тарский явно признают построение Джузеппе Витали в 1905 г. множества, носящего его имя , парадокс Хаусдорфа (1914 г.) и более раннюю (1923 г.) статью Банаха как предшественники своей работы. Конструкции Витали и Хаусдорфа зависят от Цермело «s аксиомы выбора („ AC “), который также имеет решающее значение для бумаги Банаха-Тарского, и для доказательства их парадокс и для доказательства другого результата:

Два евклидовых многоугольника , один из которых строго содержит другой, не равносоставимы .

Они отмечают:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(Роль, которую эта аксиома играет в наших рассуждениях, нам кажется заслуживающей внимания)

Они указывают, что, хотя второй результат полностью согласуется с нашей геометрической интуицией, его доказательство использует AC даже более существенно, чем доказательство парадокса. Таким образом, Банах и Тарский подразумевают, что AC не следует отвергать просто потому, что он производит парадоксальное разложение, поскольку такой аргумент также подрывает доказательства геометрически интуитивных утверждений.

Однако в 1949 г. А. П. Морс показал, что утверждение о евклидовых многоугольниках может быть доказано в теории множеств ZF и, следовательно, не требует аксиомы выбора. В 1964 году Пол Коэн доказал, что аксиома выбора не зависит от ZF, т. Е. Не может быть доказана с помощью ZF . Более слабая версией аксиомы выбора является аксиомой зависимого выбора , DC , и было показано , что DC является не достаточным для доказательства парадокса Банаха-Тарского, т.е.

Парадокс Банаха – Тарского не является теоремой ZF или ZF + DC .

Большое количество математики использует AC . Как отмечает Стэн Вагон в конце своей монографии, парадокс Банаха-Тарского был более значим для своей роли в чистой математике, чем для фундаментальных вопросов: он послужил стимулом для нового плодотворного направления исследований - податливости групп, которому нечего делать. делать с фундаментальными вопросами.

В 1991 году, используя недавние результаты Мэтью Формана и Фридриха Верунга, Януш Павликовски доказал, что парадокс Банаха – Тарского следует из ZF и теоремы Хана – Банаха . ^[10] Теорема Хана – Банаха не опирается на полную аксиому выбора, но может быть доказана с помощью более слабой версии AC, называемой леммой об ультрафильтре . Таким образом, Павликовский доказал, что теория множеств, необходимая для доказательства парадокса Банаха – Тарского, хоть и сильнее, чем ZF , но слабее, чем полная ZFC .

Набросок доказательства

Здесь набросано доказательство, которое похоже, но не идентично доказательству Банаха и Тарского. По сути, парадоксальное разложение шара достигается за четыре этапа:

1. Найдите парадоксальное разложение свободной группы на два образующих .
2. Найдите группу вращений в трехмерном пространстве, изоморфную свободной группе с двумя образующими.
3. Используйте парадоксальное разложение этой группы и выбранную аксиому, чтобы произвести парадоксальное разложение полой единичной сферы.
4. Распространите это разложение сферы до разложения единичного твердого шара.

Эти шаги более подробно обсуждаются ниже.

Шаг 1

Граф Кэли из F ₂ , показывающий разложение на множества S ( ) и , как ( ^-1 ). Переход по горизонтальному краю графа вправо представляет собой левое умножение элемента F ₂ на a ; прохождение вертикального ребра графа в восходящем направлении представляет собой левое умножение элемента F ₂ на b . Элементы множества S ( a ) - зеленые точки; элементы множества aS ( a ⁻¹) представляют собой синие точки или красные точки с синей рамкой. Красные точки с синей рамкой - это элементы S ( a ⁻¹ ), которое является подмножеством aS ( a ⁻¹ ).

Свободная группа с двумя образующими a и b состоит из всех конечных строк, которые могут быть образованы из четырех символов a , a ⁻¹ , b и b ⁻¹ , так что ни a , ни a не появляется непосредственно рядом с a ^−1, и никакое b не появляется непосредственно рядом с b ⁻¹ . Две такие строки можно объединить и преобразовать в строку этого типа, многократно заменяя «запрещенные» подстроки пустой строкой. Например: abab ⁻¹ a ⁻¹ конкатенирован с abab ^−1.a дает abab ⁻¹ a ⁻¹ abab ⁻¹ a , который содержит подстроку a ⁻¹ a , и поэтому сокращается до abab ⁻¹ bab ⁻¹ a , который содержит подстроку b ⁻¹ b , которая сокращается до abaab ^{- 1} а . Можно проверить, что набор этих строк с помощью этой операции образует группу с элементом идентичности - пустой строкой e . Эту группу можно назвать F ₂ .

Группа может быть "парадоксальным образом разложено" следующим образом: Пусть S ( a ) будет множеством всех незапрещенных строк, которые начинаются с a, и определим S ( a ⁻¹ ), S ( b ) и S ( b ⁻¹ ) аналогично. Четко,

но также

и

где обозначение aS ( a ⁻¹ ) означает взять все строки в S ( a ⁻¹ ) и объединить их слева с a .

Это суть доказательства. Например, это может быть строка в наборе который из-за правила, что не должен появляться рядом с сводится к строке . По аналогии, содержит все строки, начинающиеся с (например, строка что сводится к ). Таким образом, содержит все строки, начинающиеся с , и .

Группа F ₂ была разрезана на четыре части (плюс синглтон { e }), затем две из них «сдвинуты» путем умножения на a или b , затем «собраны заново» как две части, чтобы сделать одну копию и два других, чтобы сделать еще одну копию . Это именно то, что нужно сделать с мячом.

Шаг 2

Чтобы найти свободную группу вращений трехмерного пространства, т.е. которая ведет себя точно так же (или " изоморфна ") свободной группе F ₂ , берутся две ортогональные оси (например, оси x и z ). Тогда A рассматривается как вращениевокруг оси x , а B - вращениевокруг оси z (есть много других подходящих пар иррациональных кратных π, которые также можно использовать здесь). ^[11]

Группа вращений , генерируемых A и B будет называться Н . Позволятьбыть элементом H, который начинается с положительного поворота вокруг оси z , то есть элементом формы с . По индукции можно показать, что отображает точку к , для некоторых . Анализируя и по модулю 3, можно показать, что . Тот же аргумент повторяется (в силу симметрии задачи), когданачинается с отрицательного вращения вокруг оси z или вращения вокруг оси x . Это показывает, что еслизадается нетривиальным словом в A и B , то. Следовательно, группа H - свободная группа, изоморфная F ₂ .

Два вращения ведут себя так же , как элементы и б в группе F ₂ : есть теперь парадоксальное разложение Н .

Этот шаг нельзя выполнить в двух измерениях, так как он включает в себя вращения в трех измерениях. Если два поворота выполняются вокруг одной и той же оси, результирующая группа является группой абелевой окружности и не имеет свойства, требуемого на шаге 1.

Альтернативное арифметическое доказательство существования свободных групп в некоторых специальных ортогональных группах с использованием целочисленных кватернионов приводит к парадоксальным разложениям группы вращений . ^[12]

Шаг 3

Единичная сфера S ² разбивается на орбиты с помощью действия нашей группы Н : две точки принадлежат одной и той же орбите тогда и только тогда , когда происходит вращение в Н , который перемещает первую точку в секунду. (Обратите внимание , что орбита точки является плотным множеством в S ² ) . В аксиома выбора может быть использован , чтобы выбрать ровно одну точку из каждой орбиты; собирать эти точки в множестве M . Действие H на данной орбите свободно и транзитивно, поэтому каждую орбиту можно отождествить с H. Другими словами, каждая точка S ² может быть достигнуто точно одним способом, применяя правильное вращение от H к соответствующему элементу из М . Из - за этого, парадоксальное разложение по Н дает парадоксальное разложение S ² на четыре части A ₁ , A ₂ , ₃ , ₄ следующим образом :

где мы определяем

и то же самое для других множеств, и где мы определяем

(Пять «парадоксальных» частей F ₂ не использовались напрямую, так как они оставляли бы M в качестве дополнительной части после удвоения из-за наличия сингла { e }!)

(Большая часть) сферы теперь разделена на четыре набора (каждый плотно на сфере), и когда два из них повернуты, результат вдвое превосходит то, что было раньше:

Шаг 4

Наконец, соедините каждую точку на S ² с полуоткрытым сегментом до начала координат; парадоксальное разложение S ² приводит к парадоксальному разложению единичного твердого шара за вычетом точки в центре шара. (Эта центральная точка требует немного большего внимания; см. Ниже.)

NB В этом эскизе некоторые детали не заметны. Нужно быть осторожным о множестве точек на сферекоторые происходят с лежат на оси некоторого вращения в Н . Однако таких точек счетно, и, как и в случае с точкой в ​​центре шара, можно исправить доказательство, чтобы учесть их все. (Смотри ниже.)

Некоторые детали раскрыты

На шаге 3, сфера была разделена на орбиты нашей группы Н . Чтобы упростить доказательство, обсуждение точек, фиксируемых некоторым поворотом, было опущено; поскольку парадоксальное разложение F ₂ основано на смещении определенных подмножеств, то факт, что некоторые точки зафиксированы, может вызвать некоторые проблемы. Так как любое вращение S ² (кроме вращения нуля) имеет ровно два неподвижных точки , и так как Н , которая изоморфна F ₂ , является счетно , существует счетное множество точек S ² , исправленные некоторый поворот в H . Обозначим этот набор неподвижных точек какD . Шаг 3 доказывает, что S ² - D допускает парадоксальное разложение.

Остается показать это претензия : S ² - D равносоставлен с S ² .

Доказательство. Пусть λ некоторая линия , проходящая через начало координат , которая не пересекается с любой точки D . Это возможно, поскольку D счетно. Пусть J будет набором углов α, таких что для некоторого натурального числа n и некоторого P в D , r ( n α) P также находится в D , где r ( n α) - поворот вокруг λ элемента n α. Тогда J счетно. Таким образом , существует угол & не в J . Пусть ρ - поворот вокруг λ на θ. Тогда ρ действует на S ² без каких - либо фиксированных точекв D , т. е. ρ ⁿ ( D ) не пересекается с D , а при натуральном m < n ρ ⁿ ( D ) не пересекается с ρ ^m ( D ). Пусть E - несвязное объединение ρ ⁿ ( D ) над n = 0, 1, 2, .... Тогда S ² = E ∪ ( S ² - E ) ~ ρ ( E ) ∪ ( S ² - E ) = ( E- D ) ∪ ( S ² - Е ) = S ² - D , где ~ обозначает "равносоставлена к".

Для шага 4 уже было показано, что шар без точки допускает парадоксальное разложение; Остается показать, что мяч без точки равноразложен с мячом. Рассмотрим круг внутри шара, содержащий точку в центре шара. Используя аргумент, подобный тому, который использовался для доказательства Утверждения, можно увидеть, что полный круг равносоставлен с кругом за вычетом точки в центре шара. (По сути, счетное множество точек на окружности можно повернуть, чтобы получить плюс еще одну точку.) Обратите внимание, что это включает вращение вокруг точки, отличной от начала координат, поэтому парадокс Банаха-Тарского включает изометрии евклидова 3-мерного пространства. а не просто SO (3) .

Использование сделано из того факта , что если \ В и В \ С , то \ С . Разложение A в C может быть сделано с помощью число частей , равное произведению чисел , необходимых для принятия A в B , и для принятия B в C .

Для приведенного выше доказательства требуется 2 × 4 × 2 + 8 = 24 штуки - коэффициент 2 для удаления фиксированных точек, коэффициент 4 из шага 1, коэффициент 2 для воссоздания фиксированных точек и 8 для центральной точки второго шара. . Но на шаге 1 при перемещении { e } и всех строк формы a ⁿ в S ( a ⁻¹ ) проделайте это со всеми орбитами, кроме одной. Переместите { e } этой последней орбиты в центр второго шара. Таким образом, общая сумма составляет 16 + 1 шт. Имея больше алгебры, можно также разложить фиксированные орбиты на 4 набора, как на шаге 1. Это дает 5 частей и является наилучшим возможным вариантом.

Получение бесконечного количества шаров из одного

Используя парадокс Банаха – Тарского, можно получить k копий шара в евклидовом n -пространстве из одного для любых целых чисел n ≥ 3 и k ≥ 1, т.е. шар можно разрезать на k частей так, чтобы каждый из их равноценно собрать в шар того же размера, что и оригинал. Используя тот факт, что свободная группа F ₂ ранга 2 допускает свободную подгруппу счетно бесконечного ранга, аналогичное доказательство дает, что единичная сфера S ^{n −1} может быть разбита на счетное бесконечное число частей, каждая из которых равноразложима (с двумя штук) в S ^{n −1}используя вращения. Используя аналитические свойства группы вращений SO ( n ) , которая является связной аналитической группой Ли , можно дополнительно доказать, что сферу S ^{n −1} можно разбить на столько частей, сколько существует действительных чисел (т. Е.штук), так что каждая часть равносоставима с двумя частями до S ^{n −1} с помощью вращений. Эти результаты затем распространяются на единичный шар, лишенный начала координат. Статья Валерия Чуркина 2010 г. дает новое доказательство непрерывной версии парадокса Банаха – Тарского. ^[13]

Парадокс фон Неймана в евклидовой плоскости

В евклидовой плоскости две фигуры, равноразложимые относительно группы евклидовых движений , обязательно имеют одну и ту же площадь, и поэтому парадоксальное разложение квадрата или диска типа Банаха – Тарского, использующего только евклидовы сравнения, невозможно. Концептуальное объяснение различия между плоскими и многомерными случаями было дано Джоном фон Нейманом : в отличие от группы SO (3) вращений в трех измерениях, группа E (2) евклидовых движений плоскости разрешима , что влечет существование конечно-аддитивной меры на E (2) и R ²который инвариантен относительно сдвигов и вращений и исключает парадоксальные разложения неотъемлемых множеств. Затем фон Нейман задал следующий вопрос: можно ли построить такое парадоксальное разложение, если допустить большую группу эквивалентностей?

Ясно, что если допустить сходство , любые два квадрата на плоскости станут эквивалентными даже без дальнейшего деления. Это мотивирует ограничивающее внимание свое к группе SA ₂ из сохраняющей площади аффинных преобразований . Поскольку площадь сохраняется, любое парадоксальное разложение квадрата относительно этой группы было бы нелогичным по тем же причинам, что и разложение Банаха – Тарского шара. Фактически группа SA ₂ содержит в качестве подгруппы специальную линейную группу SL (2, R ) , которая, в свою очередь, содержит свободную группу F ₂с двумя образующими в качестве подгруппы. Это делает правдоподобным, что доказательство парадокса Банаха – Тарского можно имитировать на плоскости. Основная трудность здесь заключается в том, что единичный квадрат не инвариантен относительно действия линейной группы SL (2, R ), поэтому нельзя просто перенести парадоксальное разложение с группы на квадрат, как на третьем шаге приведенное выше доказательство парадокса Банаха – Тарского. Более того, неподвижные точки группы представляют трудности (например, начало координат фиксировано при всех линейных преобразованиях). Вот почему фон Нейман использовал большую группу SA ₂включая переводы, и построил парадоксальное разложение единичного квадрата относительно увеличенной группы (в 1929 г.). Применяя метод Банаха – Тарского, парадокс для квадрата можно усилить следующим образом:

Любые два ограниченных подмножества евклидовой плоскости с непустыми внутренностями равноразложимы относительно сохраняющих площадь аффинных отображений.

Как отмечает фон Нейман: ^[14]

«Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives adds Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A ₂ invariant wäre».

"В соответствии с этим уже в плоскости нет неотрицательной аддитивной меры (для которой единичный квадрат имеет меру 1), инвариантной относительно всех преобразований, принадлежащих A ₂ [группе сохраняющих площадь аффинные преобразования] ".

Чтобы объяснить далее, вопрос о том, существует ли конечно аддитивная мера (которая сохраняется при определенных преобразованиях), зависит от того, какие преобразования разрешены. Банахово мера множеств в плоскости, которая сохраняется с помощью сдвигов и поворотов, не сохраняется без изометрических преобразований , даже если они сохраняют площадь полигонов. Точки плоскости (кроме начала координат) можно разделить на два плотных множеств , которые могут быть названы A и B . Если точки A данного многоугольника преобразуются одним сохраняющим площадь преобразованием, а точки B другим, оба набора могут стать подмножествами Aточки в двух новых полигонах. Новые многоугольники имеют ту же площадь, что и старый многоугольник, но два преобразованных набора не могут иметь ту же меру, что и раньше (так как они содержат только часть точек A ), и поэтому нет меры, которая «работает».

Класс групп, выделенных фон Нейманом в ходе изучения феномена Банаха – Тарского, оказался очень важным для многих разделов математики: это аменабельные группы или группы с инвариантным средним, включающие все конечные и все разрешимые группы . Вообще говоря, парадоксальные разложения возникают, когда группа, используемая для эквивалентностей в определении равноразложимости, не поддается.

Недавний прогресс

• 2000: Работа фон Неймана оставила открытой возможность парадоксального разложения внутренней части единичного квадрата относительно линейной группы SL (2, R ) (Вагон, вопрос 7.4). В 2000 году Миклош Лацкович доказал, что такое разложение существует. ^[15] Точнее, пусть A - семейство всех ограниченных подмножеств плоскости с непустой внутренней частью и на положительном расстоянии от начала координат, а B - семейство всех плоских множеств, обладающих тем свойством, что объединение конечного числа переводит при некоторых элементах SL (2, R ) содержит проколотую окрестность начала координат. Тогда все множества в семействе A являются SL (2,R ) -equidecomposable, и аналогично для множеств в B . Отсюда следует, что оба семейства состоят из парадоксальных множеств.
• 2003: В течение долгого времени было известно, что полная плоскость парадоксальна по отношению к SA ₂ , и что минимальное количество частей будет равно четырем при условии, что существует локально коммутативная свободная подгруппа SA ₂ . В 2003 году Кензи Сато создал такую ​​подгруппу, подтвердив, что четырех пьес достаточно. ^[16]
• 2011: работа Лацковича ^[17] оставила открытой возможность существования свободной группы F кусочно-линейных преобразований, действующих на проколотом диске D \ {0,0} без неподвижных точек. Гжегож Томкович построил такую ​​группу, ^[18] показывая, что система сравнений A ≈ B ≈ C ≈ BUC может быть реализована с помощью F и D \ {0,0} .
• 2017: Уже давно известно, что в гиперболической плоскости H ² существует множество E, которое является третьим, четвертым и ... и-я часть H ² . Требованию удовлетворяли сохраняющие ориентацию изометрии H ² . Аналогичные результаты были получены Джон Фрэнк Адамс ^[19] и Ян Мицельским ^[20] , который показал , что единичная сфера S ² содержит множество Е , который является половиной, третий, четвертый и ... и-я часть S ² . Гжегож Tomkowicz ^[21] показали , что Адамс и Мычильский конструкция может быть обобщена , чтобы получить множество Е из Н ² с теми же свойствами , как и в S ² .
• 2017: Парадокс фон Неймана касается евклидовой плоскости, но есть и другие классические пространства, где парадоксы возможны. Например, можно спросить, существует ли парадокс Банаха – Тарского в гиперболической плоскости H ² . Это показали Ян Мыцельски и Гжегож Томкович. ^{[22] [23]} Томкович ^[24] также доказал, что большинство классических парадоксов являются простым следствием результата теории графов и того факта, что рассматриваемые группы достаточно богаты.
• 2018: В 1984 году Ян Микельски и Стэн Вагон ^[25] построили парадоксальное разложение гиперболической плоскости H ² , использующее борелевские множества. Парадокс зависит от существования собственно разрывной подгруппы группы изометрий H ² . Аналогичный парадокс получил Гжегож Томкович ^[26] , построивший свободную собственно разрывную подгруппу G аффинной группы SA (3, Z ). Из существования такой группы следует существование такого подмножества E в Z ³ , что для любого конечного F из Z ³ существует элемент g из Gтакое, что g (E) =, куда обозначает симметричную разность Е и F .
• 2019: Парадокс Банаха-Тарского использует конечное количество частей в дублировании. В случае счетного числа частей любые два набора с непустыми внутренними частями равносоставимы с использованием переводов. Но, допуская только измеримые по Лебегу части, получаем: если A и B являются подмножествами R ⁿ с непустыми внутренностями, то они имеют равные меры Лебега тогда и только тогда, когда они счетно равноразложимы с использованием измеримых по Лебегу частей. Ян Мыцельский и Гжегож Томкович ^[27] распространили этот результат на конечномерные группы Ли и вторые счетные локально компактные топологические группы, которые полностью несвязны или имеют счетное число компонент связности.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Парадокс Хаусдорфа
• Набор Никодим
• Проблема квадрата круга Тарского
• Гипотеза фон Неймана
• Парадокс фон Неймана

Данная статья про парадокс банаха — тарского подтверждают значимость применения современных методик для изучения данных проблем. Надеюсь, что теперь ты понял что такое парадокс банаха — тарского и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории введение в математику. основы