Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Уравнение в математике

Лекция



Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про уравнение в ма тике , и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое уравнение в ма тике , настоятельно рекомендую прочитать все из категории введение в математику. основы.


Уравнение в математике
 
Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение Уравнение в математике )

Уравне́ние — это равенство вида

Уравнение в математике

Чаще всего в качестве Уравнение в математике  выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и др.

 

Содержание

   
  • 1 Решение уравнения
    • 1.1 Равносильные уравнения
    • 1.2 Основные свойства
  • 2 Следствие уравнения и посторонние корни
    • 2.1 Пример
  • 3 Виды уравнений
    • 3.1 Алгебраические уравнения
      • 3.1.1 Линейные уравнения
      • 3.1.2 Квадратные уравнения
      • 3.1.3 Кубические уравнения
      • 3.1.4 Уравнение четвертой степени
      • 3.1.5 Системы линейных алгебраических уравнений
    • 3.2 Уравнения с параметрами
    • 3.3 Трансцендентные уравнения
    • 3.4 Функциональные уравнения
    • 3.5 Дифференциальные уравнения
  • 4 Примеры уравнений
  • 5 Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!
  • 6 Примечания
  • 7 Литература
  • 8 Ссылки

 

Решение уравнения

Уравнение в математике
 
Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения Уравнение в математике

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задается теоремой: если функции Уравнение в математике  заданы над областью целостности, то уравнение

Уравнение в математике

эквивалентно совокупности уравнений:

Уравнение в математике

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.

Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

  1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
  2. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
  3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
  4. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
  5. Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
  6. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Следствие уравнения и посторонние корни

Уравнение

Уравнение в математике

называется следствием уравнения

Уравнение в математике ,

если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.

Пример

Уравнение

Уравнение в математике

при возведении обеих частей в квадрат дает уравнение

Уравнение в математике  или Уравнение в математике

Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня

Уравнение в математике  и Уравнение в математике .

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество

Уравнение в математике

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение :

Уравнение в математике .

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни , а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвертой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвертой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

Уравнение в математике

где Уравнение в математике  — многочлен от переменных Уравнение в математике , которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена Уравнение в математике  обычно берутся из некоторого поля Уравнение в математике , и тогда уравнение Уравнение в математике  называется алгебраическим уравнением над полем Уравнение в математике . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена Уравнение в математике .

Например, уравнение

Уравнение в математике

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трех переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Линейные уравнения

  • в общей форме: Уравнение в математике
  • в канонической форме: Уравнение в математике

Квадратные уравнения

Уравнение в математике
Уравнение в математике

где Уравнение в математике  — свободная переменная, Уравнение в математике Уравнение в математике Уравнение в математике  — коэффициенты, причем Уравнение в математике

Выражение Уравнение в математике  называют квадратным трехчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трехчлена) — это значение переменной Уравнение в математике , обращающее квадратный трехчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент Уравнение в математике  называютпервым или старшим, коэффициент Уравнение в математике  называют вторым или коэффициентом при Уравнение в математике Уравнение в математике  называется свободным членомэтого уравнения. Приведенным называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент Уравнение в математике Уравнение в математике  Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю. Графиком квадратичной функции является парабола.

Для нахождения корней квадратного уравнения Уравнение в математике  в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение Уравнение в математике .
1)если Уравнение в математике 2) если Уравнение в математике 3)если Уравнение в математике
корней два, для отыскания используют формулу: Уравнение в математике , корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях - его, к тому же, называют корнем кратности 2), формула которого - Уравнение в математике делают вывод о том, что корней на множестве действительных чисел нет.

Кубические уравнения

Уравнение в математике
 
График кубической функции
Уравнение в математике

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола .

Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:

Уравнение в математике

поделив его на Уравнение в математике  и подставив в него замену Уравнение в математике  При этом коэффициенты будут равны:

Уравнение в математике
Уравнение в математике

Уравнение четвертой степени

Уравнение в математике
 
График многочлена4-ой степени с четырьмя корнями и тремякритическими точками.
Уравнение в математике

Четвертая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как Уравнение в математике  является многочленом четной степени , она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если Уравнение в математике , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, еслиУравнение в математике , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений вида:


\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
(1)

Здесь Уравнение в математике  — количество уравнений, а Уравнение в математике  — количество неизвестных. x1x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].

Система называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной. Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c1c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все ее уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Решения c1(1)c2(1), …, cn(1) и c1(2)c2(2), …, cn(2) совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2)c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределенной.

Уравнения с параметрами

Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:


a\,x+1=4,

Пример нелинейного уравнения с параметром:


\mbox{log}_{x^2}\frac{a+3}{7-x}=5,

где Уравнение в математике  — независимая переменная Уравнение в математике  — параметр.

Трансцендентные уравнения

Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции , например:

  • Уравнение в математике
  • Уравнение в математике
  • Уравнение в математике

Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида Уравнение в математике , где функции Уравнение в математике  и Уравнение в математике  являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Функциональные уравнения

Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с ее значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:

  • функциональному уравнению

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
где Уравнение в математике  — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет  Дзета-функция Римана  ζ.
  • Следующим трем уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трех уравнений:
Уравнение в математике
Уравнение в математике
Уравнение в математике        (формула дополнения Эйлера)
  • Функциональное уравнение
Уравнение в математике
где abcd являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть 
\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1, определяет f как модулярную форму порядка k.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение ее производныхразличных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называетсяфункция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные Уравнение в математике  до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на

  • обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента:
Уравнение в математике  или Уравнение в математике ,

где Уравнение в математике  — неизвестная функция (возможно,  вектор -функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной Уравнение в математике , штрих означает дифференцирование по Уравнение в математике .

  • и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных:
Уравнение в математике ,

где Уравнение в математике  — независимые переменные , а Уравнение в математике  — функция этих переменных.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции  времени.

Примеры уравнений

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Примечания

 

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про уравнение в ма тике Надеюсь, что теперь ты понял что такое уравнение в ма тике и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории введение в математику. основы

создано: 2014-09-17
обновлено: 2021-03-13
132898



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

введение в математику. основы

Термины: введение в математику. основы