Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про параллельные прямые, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое параллельные прямые, углы возникающие при пересечении прямых , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия.
параллельные прямые (от греч. παράλληλος, буквально — «идущий рядом», «идущий вдоль другого») — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
Для обозначения параллельности прямых используется символ ||.
a || b – прямая a параллельна прямой b.
Аксиома Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не боле одной прямой, параллельной данной.
Прямые BC и AD пересекаются прямой AB. Прямая AB по отношению к прямым BC и AD называется секущей.
Если точки С и D лежат в одной полуплоскости от секущей AB, то углы CBA и DAB называются внутренними односторонними.
Если точки K и M лежат в одной полуплоскости от секущей AB, то углы KBA и MAB называются внутренними накрест лежащими.
Если у пары внутренних накрест лежащих углов ( угол 1 и угол 2) один из углов заменить на вертикальный ему ( заменить угол 2 на угол 3), то полученные углы называются соответственными углами (угол 1 и угол 3) данных прямых с секущей.
В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются . В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными .
Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности .
Параллельность прямых 
и 
обычно обозначается:
 |
 |
 |
Рис.1: Соответственные углы равны,  . |
Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны,  . |
Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными,  . |
В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.
геометрии Лобачевского в плоскости через точку 
вне данной прямой 
проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Прямая 
называется равнобежной прямой в направлении от 
к 
, если:
и 
лежат по одну сторону от прямой 
; не пересекает прямую , но всякий луч, проходящий внутри угла 
, пересекает луч .Аналогично определяется прямая, равнобежная в направлении от к .
Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися .
Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.
Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.
В геометрии нельзя «на глазок» определить, параллельны прямые или нет. Это может быть либо дано, либо доказано. Вы уже знаете, что на плоскости справедлива теорема: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой».
Есть еще три признака параллельности прямых, которые можно объединить в одну теорему, она так и называется: «Признаки параллельности прямых». Данные признаки связаны с углами, которые образуются при пересечении двух прямых третьей прямой. Это так называемые накрест лежащие углы, соответственные углы и односторонние углы.
Оказывается, что если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые будут параллельны.
Справедливы и обратные утверждения. Если даны две заведомо параллельные прямые, которые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°.
Ранее мы доказали, что через точку вне прямой можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Можно также доказать, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной. А вот доказать, что такая прямая — единственная, нельзя! Утверждение «Через точку, не лежащую на прямой, можно провести ЕДИНСТВЕННУЮ прямую, параллельную данной» называется аксиомой параллельных прямых. У Евклида эта аксиома называлась пятым постулатом.
На протяжении двух тысячелетий это утверждение вызывало захватывающие и драматичные споры между такими знаменитыми учеными, как Лобачевский, Гаусс и другие. Споры состояли в том, можно или нельзя доказать этот пятый постулат Евклида на основании уже известных теорем. В конце концов работы в этом направлении привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.
При пересечении двух прямых третьей, которая называется секущей, образуется 4 пары накрест лежащих углов, 4 пары соответственных и 4 пары односторонних.
3 и 5; 4 и 6 — внутренние накрест лежащие углы;
1 и 7; 2 и 8 — внешние накрест лежащие углы;
1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7 — соответственные углы;
3 и 6; 4 и 5 — внутренние односторонние углы;
2 и 7; 1 и 8 — внешние односторонние углы.
Признаки параллельности прямых. Если накрест лежащие углы равны, ши соответственные углы равны, ши сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. В первую очередь нужно доказать, что если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство опирается на уже доказанное нами свойство: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Из середины отрезка секущей опускают перпендикуляр на одну из параллельных прямых. Затем перпендикуляр продляют до пересечения со второй прямой. Из равенства полученных треугольников следует, что прямая, проходящая через перпендикуляр, будет перпендикулярна и второй прямой. Дальнейшее просто.
Через точку, не лежащую на данной прямой, МОЖНО провести прямую, параллельную данной. Опустив перпендикуляр из точки на прямую, а затем, восставив перпендикуляр к проведенной прямой, получим две прямые, перпендикулярные третьей, которые будут параллельны. А вот доказать, что такая прямая единственная, нельзя. Поэтому справедлива АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ЕДИНСТВЕННАЯ прямая, параллельная данной».
Теорема о двух прямых, параллельных третьей. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если бы они пересекались, то через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей.
Теорема о пересечении параллельных прямых. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если бы эта прямая не пересекала вторую прямую, то она была бы ей параллельна. Но тогда через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей. А это невозможно.
Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°. В первую очередь нужно доказать, что если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны. Пусть прямые параллельны, а накрест лежащие углы 1 и 2 не равны. Отложим угол, равный углу 2, как показано на рисунке. Получим еще одну прямую, параллельную нижней прямой (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Но через точку нельзя провести две прямые, параллельные третьей. Значит, наше предположение неверно, и накрест лежащие углы равны. Остальное несложно.
Из указанных свойств параллельных прямых вытекает важное следствие: перпендикуляр к одной из параллельных прямых будет перпендикуляром и к другой. Доказательство следует из равенства соответственных углов.
Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами. Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они одновременно острые ши одновременно тупые, и в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой — тупой. Продлив стороны данных углов, получим две пары равных соответственных углов, откуда ∠1 = ∠2. Продлив сторону угла 1 за его вершину, получим доказательство второй части теоремы.
Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они одновременно острые или одновременно тупые, и в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой — тупой. Проведя перпендикулярные лучи из вершины угла 1, получим, что углы 2 и 3 равны и углы 3 и 1 дополняют один и тот же угол 4 до 90°. Значит, ∠1 = ∠3, ∠1 = ∠2. Продлив сторону угла 2 за его вершину, получим доказательство второй части теоремы.
Большинство людей убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяют через другие понятия, а каждое утверждение доказывают, опираясь на другие утверждения. Самое интересное - что же знают и думают люди об аксиоме параллельных прямых. И все ли здесь на самом деле так просто, однозначно и очевидно, как кажется на первый взгляд?!
Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь ее проходят в школе. Абсолютное большинство опрошенных нами взрослых и подростков отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Именно такая формулировка аксиомы о параллельных бытует в массовом сознании. Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймет этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование.
В традиционной Евклидовой геометрии аксиома на самом деле звучит так: «через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной». А вот определение параллельных прямых: «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются». А вот, к примеру, прямые, которые не пересекаются, но лежат в разных плоскостях, называются скрещивающимися. Но также существует много теорий, которые не сходятся и даже опровергают Евклидову (элементарную) геометрию. Одна из таких: "Геометрия Лобачевского".
7 февраля 1826 Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829—1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьезной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.
Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жесткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.
Вот модель этого дела:
Доказательством непротиворечивости какой-либо геометрии является построение модели. Одной из первых моделей, в которой «работает» геометрия Лобачевского, является круг. Неевклидовыми точками будут считаться те, которые расположены внутри него (заметим, в аксиоматики Лобачевского, аксиома параллельности заменена его личной аксиомой, остальные аксиомы Евклидовой геометрии остались). Точки, лежащие на окружности, исключаем из рассмотрения. Прямыми будем считать хорды данной окружности. Из точки A проведем хорду AB. Концы данной хорды лежат на окружности, следовательно, мы принять их не можем, все же точки, лежащие внутри круга и принадлежащие хорде AB являются неевклидовыми, и мы их можем принять во внимание, но какое бы малое расстояние мы не брали приближаясь к точке A, все равно будет существовать еще более маленькое, еще более близкое к точке A. Отсюда можно сделать вывод: хорда AB не имеет четко определенного начала и конца, следовательно, AB – прямая.
Пусть даны неевклидова прямая AB и точка C вне ее. Бесконечное множество прямых, проходящих через точку C, не пересекают хорду-прямую AB.
Но Лобачевский далеко не единственный разрабатывал подобные теории. Существуют модели, которые были как до, так и после открытия Лобачевского.
Над ними работали Э. Бельтрам (1868), Ф. Клейн (1871), А. Пуанкаре (1883), а также Фридрих Гаусс.
Вот представлены модели некоторых из них:
Модель Клейна
Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовем любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах.
Модель Пуанкаре.
За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.
Но напоминаю, что о параллельных прямых мы не только на геометрии слышим. Они встречаются в жизни везде, куда не посмотри! Параллельные грядки и ряды деревьев в посадках, рельсы и шпалы на железной дороге, параллельные эскалаторы в торговых центрах, поднимающие и опускающие нас с этажа на этаж, беговые дорожки параллельные брусья на стадионе, и даже цветы, растущие рядом, тянутся к солнцу параллельно…
Но вот еще интересная вещь: даже миры могут быть параллельными!
Команда ученых во главе с Дэвидом Deutsch Оксфорде сделали открытие в области математики. Параллельные миры действительно существуют.
Сама теория таких миров появилась еще в 1950 в США (автор — Хью Эверетт) и объяснила тайны квантовой механики, вызывавшие споры ученых. В Эвереттовской «многомирной» Вселенной каждое новое событие возможно и вызывает разделение Вселенной. Число возможных альтернативных исходов равно числу миров.
К примеру, водитель машины видит выскочившего на дорогу пешехода. В одной реальности он, избегая наезда, гибнет сам, в другой попадает в больницу и остается живым, в третьей гибнет пешеход. Число альтернативных сценариев бесконечно.
Теория была признана фантастической и забыта. Но неожиданно в Оксфорде в ходе математического исследования обнаружили, что Эверетт был на верном пути.
Согласно квантовой механике, до эксперимента про то, что внутри атома, нельзя сказать, что оно реально существует. До замеров частицы занимают неясную «суперпозицию», в которой они могут иметь одновременно верхний и нижний спин, или появляться в разных местах в одно и то же время. Наблюдение проводят для «проявления» конкретного состояния реальности, ведь и подброшенная монета приходит только в 1 положение «орел» или «решка», как только ее поймают.
Главный вывод из открытия состоит в следующем. Кустоподобные ветвящиеся структуры, возникающие при расщеплении Вселенной на параллельные версии ее самой, объясняют вероятностный характер результатов в квантовой механике. То есть неизбежно мы живем лишь в одном из множества параллельных миров, а не в единственном.
Физики Европейской организации ядерных исследований (ЦЕРН) приближаются к главному открытию XXI века, пытаясь доказать, что параллельные вселенные – это не выдумки фантастов, а реальный факт. Именно в 2013 году Большой адронный коллайдер будет выведен на рабочий максимум. Главным открытием этого момента станет создание модели рождения нашей Вселенной, а другие миры, в том числе и путешествия во времени, пока кажущихся выдумкой фантастов, по мнению ученых, приложатся. В октябрьском сообщении пресс-службы ЦЕРН поясняется, что до сих пор ученые не смогли найти доказательства существования параллельных вселенных лишь потому, что другие миры «спрятаны» в измерениях, куда не проникает свет. Однако воссоздание рождения Вселенной должно помочь исправить эту проблему. Несколько лет назад стало известно о сенсационной работе оксфордского теоретика Дэвида Дойча. Большой поклонник таланта Эверетта израильский физик Дойч создал математическую модель, согласно которой параллельные миры реальны. В этих вселенных не работают законы классической квантовой теории. При этом ученый верит и в возможность путешествий во времени. Пока же физики, работающие с коллайдером, опережают собственные графики.
Концепция существования иных миров, отличающихся от нашего, возникла в литературе 18 века. Пример - «Кандид» Вольтера, где один из персонажей, Панглос, заявляет ставшую крылатой фразу: «Все к лучшему в этом лучшем из миров».
В повести братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу» описаны путешествия персонажей в разные варианты описываемого фантастами будущего.
Также интересно описывает теорию параллельных миров Алексей Фомичев в своей серии книг «Пусть бог не вмешивается».
Я хотел бы услышать твое мнение про параллельные прямые Надеюсь, что теперь ты понял что такое параллельные прямые, углы возникающие при пересечении прямых и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия
Комментарии
Оставить комментарий
Планометрия
Термины: Планометрия