Параллельные прямые в пространстве. Свойства кратко

Привет, сегодня поговорим про параллельные прямые в пространстве, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое параллельные прямые в пространстве , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

Теорема

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.



Доказательство

Пусть a – данная прямая и A – точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую a и точку A плоскость α. Проведем через точку A в плоскости α прямую a1, параллельную a. Докажем, что прямая a1, параллельная a, единственна.
Допустим, что существует другая прямая a2, проходящая через точку A и параллельная прямой a. Через прямые a и a2 можно провести плоскость α2. Плоскость α2 проходит через прямую a и точку A; следовательно, по теореме о точке и прямой в пространстве она совпадает с α. Теперь по аксиоме параллельных прямые a1 и a2 совпадают. Теорема доказана.

Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.

Teорема 1.

v

Доказательство:

1. так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b — точку A.

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Доказательство:

1. через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(1 рис.)

(2 рис.)

Доказательство:

рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M (1 рис.).

Из 1-й теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β.

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (2 рис.). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c.

Точку пересечения прямых a и c обозначим за K.

Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: a∥c и b∥c.

Доказать: a∥b.

Доказательство:

выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α; или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным.

Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α, и у них нет общих точек, то они параллельны.

Все множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.

Выводы:

Пример:

одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма ABCD сторона AD пересекает плоскость α в точке K.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.

2. Параллельность прямой и плоскости

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит (находится) в плоскости;

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);

3) прямая и плоскость не имеют общих точек.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Обрати внимание!

Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема 6.
Если плоскость β проходит через данную прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b∥a.

Обрати внимание!

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Теорема 7.
Если одна из двух параллельных прямых

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• антипараллельность , антипараллельные прямые ,
• параллельные прямые , углы возникающие при пересечении прямых ,

Я что-то не договорил про параллельные прямые в пространстве, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое параллельные прямые в пространстве и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия