Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Лекция



Привет, сегодня поговорим про угол между прямой, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое угол между прямой, плоскостью– определение ы нахождения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.




Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. угол между прямой и плоскостью" /> 

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α. 
Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

 

Начнем эту статью с определения угла между прямой и плоскостью. После этого покажем, как находится угол между прямой и плоскостью методом координат, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

 

Угол между прямой и плоскостью - определение.

Прежде чем говорить об определении угла между прямой и плоскостью, рекомендуем освежить в памяти понятие прямой линии в пространстве и понятие плоскости.

Чтобы определить угол между прямой и плоскостью нам потребуется несколько вспомогательных определений. Дадим эти определения.

Определение.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.

Определение.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Определение.

Проекцией точки М на плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. называется либо сама точка М, если М лежит в плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., либо точка пересечения плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и прямой, перпендикулярной к плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Определение.

Проекцией прямой a на плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Очевидно, что проекцией прямой, перпендикулярной к плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., на плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. является их точка пересечения. Также достаточно очевидно, что проекцией прямой a, которая пересекает плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и не перпендикулярна к этой плоскости, на плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. является прямая линия, лежащая в плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Теперь нам достаточно сведений, чтобы дать определение угла между прямой и плоскостью.

Определение.

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

К началу страницы

 

Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана прямая a, которая пересекает плоскость Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. в точке M и не перпендикулярна плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., и требуется найти угол Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. между прямой a и плоскостью Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Прямой a в заданной прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют некоторыеуравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой в пространстве, а плоскостиУгол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. - уравнение плоскости некоторого вида и нормальный вектор плоскости. Пусть Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. - направляющий вектор прямой aУгол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. - нормальный вектор плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.. Итак, будем считать, что нам известны координаты направляющего вектора прямой a и координаты нормального вектора плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. (если известны уравнения прямой aи плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., то координаты векторов Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. определяются по этим уравнениям).

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. от точки пересечения прямой a и плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.. В зависимости от координат векторов Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Очевидно, если угол между векторами Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. (обозначим его Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.) острый, то он дополняет искомый угол Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть, Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.. Если же Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., то Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:
Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Формулы приведения приводят нас к равенствам Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., которые после преобразований принимают вид
Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.

Пример.

Найдите угол, синус и косинус угла между прямой Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и плоскостью Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Решение.

Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу получить координаты направляющего вектора – их дают числа в знаменателях дробей. То есть, Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. - направляющий вектор прямой Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Общее уравнение плоскости содержит в себе координаты нормального вектора плоскости в виде коэффициентов при переменных xy и z. То есть, нормальным вектором плоскости Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. является вектор Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Подставляем координаты векторов Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. в формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью:
Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Тогда Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Пример.

На векторах Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. построена пирамида. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC.

Решение.

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения..

Нормальный вектор Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. плоскости АВС перпендикулярен и вектору Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и вектору Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения., то есть, в качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение векторов Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения. и Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.:
Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:
Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Я что-то не договорил про угол между прямой, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое угол между прямой, плоскостью– определение ы нахождения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про угол между прямой
создано: 2014-10-05
обновлено: 2021-03-13
132901



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Стереометрия

Термины: Стереометрия