Угол между прямой и плоскостью– определение, примеры нахождения.

Привет, сегодня поговорим про угол между прямой, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое угол между прямой, плоскостью– определение ы нахождения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

угол между прямой и плоскостью" />  Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.  Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

Начнем эту статью с определения угла между прямой и плоскостью. После этого покажем, как находится угол между прямой и плоскостью методом координат, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Угол между прямой и плоскостью - определение.

Прежде чем говорить об определении угла между прямой и плоскостью, рекомендуем освежить в памяти понятие прямой линии в пространстве и понятие плоскости.

Чтобы определить угол между прямой и плоскостью нам потребуется несколько вспомогательных определений. Дадим эти определения.

При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.

Очевидно, что проекцией прямой, перпендикулярной к плоскости , на плоскость  является их точка пересечения. Также достаточно очевидно, что проекцией прямой a, которая пересекает плоскость  и не перпендикулярна к этой плоскости, на плоскость  является прямая линия, лежащая в плоскости  и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости .

Теперь нам достаточно сведений, чтобы дать определение угла между прямой и плоскостью.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .

Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана прямая a, которая пересекает плоскость  в точке M и не перпендикулярна плоскости , и требуется найти угол  между прямой a и плоскостью .

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Прямой a в заданной прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют некоторыеуравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой в пространстве, а плоскости - уравнение плоскости некоторого вида и нормальный вектор плоскости. Пусть  - направляющий вектор прямой a,  - нормальный вектор плоскости . Итак, будем считать, что нам известны координаты направляющего вектора прямой a и координаты нормального вектора плоскости  (если известны уравнения прямой aи плоскости , то координаты векторов  и  определяются по этим уравнениям).

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы  и  от точки пересечения прямой a и плоскости . В зависимости от координат векторов  и  возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.

Очевидно, если угол между векторами  и  (обозначим его ) острый, то он дополняет искомый угол  между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть, . Если же , то .

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:

Формулы приведения приводят нас к равенствам , которые после преобразований принимают вид

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула .

Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле .

Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.

Я что-то не договорил про угол между прямой, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое угол между прямой, плоскостью– определение ы нахождения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия