Окружности Вилларсо кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое окружности вилларсо, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое окружности вилларсо , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

В геометрии , окружности вилларсо представляют собой пару окружностей , полученных путем разрезания тор наискось через центр под определенным углом. Для произвольной точки на торе через нее можно провести четыре окружности. Один находится в плоскости, параллельной экваториальной плоскости тора, а другой - перпендикулярно этой плоскости (они аналогичны линиям широты и долготы на Земле). Два других - это круги Вильярсо. Они названы в честь французского астронома и математика. Ивон Вильярсо (1813–1883). Мангейм (1903) показал, что окружности Вилларсо пересекаются со всеми параллельными круговыми поперечными сечениями тора под одним и тем же углом - результат, который, как он сказал, полковник Шельчер представил на конгрессе в 1891 году.

Круги Вильярсо как пересечение тора и плоскости

Пример

Например, предположим, что большой радиус тора равен 5, а меньший радиус равен 3. Это означает, что тор представляет собой объединение определенных окружностей радиуса три, центры которых находятся на окружности радиуса пять в плоскости xy . Точки на этом торе удовлетворяют этому уравнению:

Нарезка с помощью плоскости z = 0 дает две концентрические окружности, x ² + y ² = 2 ² и x ² + y ² = 8 ² . Нарезка с помощью плоскости x = 0 дает две расположенные бок о бок окружности: ( y - 5) ² + z ² = 3 ² и ( y + 5) ² + z ² = 3 ² .

Два примера окружностей Вилларсо могут быть получены путем разрезания плоскостью 3 x = 4 z . Один с центром в (0, +3, 0), а другой в (0, -3, 0); оба имеют радиус пять. Их можно записать в параметрической форме как

а также

Плоскость сечения выбирается касательной к тору в двух точках, проходя через его центр. Это касательная в точках ( ¹⁶ ⁄ ₅ , 0, ¹² ⁄ ₅ ) и в ( ^-16 ⁄ ₅ , 0, ^-12 ⁄ ₅ ). Угол среза однозначно определяется размерами выбранного тора. Вращение любой такой плоскости вокруг оси z дает все окружности Вилларсо для этого тора.

Существование и уравнения

Тор: круги Вильярсо
На нижнем рисунке проекция перпендикулярна плоскости сечения. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Отсюда появляется истинная форма кругов.

Тор с двумя карандашами кругов Вильярсо

Вильярсо кружит (пурпурный, зеленый) через заданную точку (красный). Для любой точки на торе есть 4 окружности, содержащие эту точку.

Доказательство существования окружностей может быть построено на том факте, что плоскость сечения касается тора в двух точках. Одна из характеристик тора состоит в том, что это поверхность вращения . Не умаляя общности , выберите систему координат так, чтобы осью вращения была ось z . Начните с круга радиуса r в плоскости xz с центром в точке ( R , 0, 0).

Подметание заменяет x на ( x ² + y ² ) ^1/2 , а очистка квадратного корня дает уравнение четвертой степени .

Поперечное сечение скользящей поверхности в плоскости xz теперь включает в себя второй круг.

Эта пара окружностей имеет две общие внутренние касательные , с наклоном в начале координат, полученным от прямоугольного треугольника с гипотенузой R и противоположной стороны r (которая имеет прямой угол в точке касания). Таким образом, z / x равно ± r / ( R ² - r ² ) ^1/2 , и выбор знака плюс дает уравнение плоскости, касательной к тору.

В силу симметрии вращение этой плоскости вокруг оси z дает все касательные плоскости через центр. (Есть также горизонтальные плоскости, касательные к вершине и низу тора, каждая из которых дает «двойной круг», но не круги Вилларсо.)

Мы можем вычислить пересечение плоскости (ей) с тором аналитически и, таким образом, показать, что результат представляет собой симметричную пару окружностей, одна из которых является окружностью радиуса R с центром в

Подобное лечение можно найти у Coxeter (1969).

Более абстрактный - и более гибкий - подход был описан Хиршем (2002) с использованием алгебраической геометрии в проективном контексте. В однородном уравнении четвертой степени для тора

установка w равной нулю дает пересечение с «плоскостью на бесконечности» и сводит уравнение к

Это пересечение - двойная точка, фактически двойная точка засчитывается дважды. Кроме того, он входит в каждую касательную плоскость. Две точки касания также являются двойными точками. Таким образом, кривая пересечения, которая, согласно теории, должна быть квартикой, содержит четыре двойные точки. Но мы также знаем, что квартика с более чем тремя двойными точками должна разлагаться на множители (она не может быть неприводимой ), и по симметрии множители должны быть двумя конгруэнтными кониками . Хирш распространяет этот аргумент на любую поверхность вращения, порожденную коникой, и показывает, что пересечение с плоскостью, касающейся бита, должно давать две коники того же типа, что и образующая, когда кривая пересечения является реальной.

Заполнение пространства

Тор играет центральную роль в расслоении Хопфа 3-сферы S ³ над обычной сферой S ² , слои которой имеют окружности S ¹ . Когда трехмерная сфера отображается в евклидово трехмерное пространство с помощью стереографической проекции , прообраз окружности широты на S ² под картой волокон является тором, а сами слои являются кругами Вильярсо. Banchoff(1990) исследовали такой тор с помощью изображений компьютерной графики. Один из необычных фактов о кругах состоит в том, что каждый соединяется через все остальные, причем не только в своем собственном торе, но и в совокупности, заполняющей все пространство; Бергер (1987) обсуждает и рисует.

См. Также

• Круги Эйлера
• Vesica piscis (рыбий пузырь)

Исследование, описанное в статье про окружности вилларсо, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое окружности вилларсо и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия