Угол между скрещивающимися прямыми

Привет, сегодня поговорим про угол между скрещивающимися прямыми, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое угол между скрещивающимися прямыми , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180º. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. 
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол межу пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

В этой статье сначала дадим определение угла между скрещивающимися прямыми и приведем графическую иллюстрацию. Далее ответим на вопрос: «Как найти угол между скрещивающимися прямыми , если известны координаты направляющих векторов этих прямых в прямоугольной системе координат»? В заключении попрактикуемся в нахождении угла между скрещивающимися прямыми при решении примеров и задач.

Угол между скрещивающимися прямыми - определение.

К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.

Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.

Приведем еще вспомогательные рассуждения.

Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Построим прямые a₁ и b₁ так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и bсоответственно и проходили через некоторую точку пространства M₁. Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a₁ и b₁. Пусть угол между пересекающимися прямыми a₁и b₁ равен углу . Теперь построим прямые a₂ и b₂, параллельные скрещивающимся прямым aи b соответственно, проходящие через точку М₂, отличную от точки М₁. Угол между пересекающимися прямыми a₂ и b₂ также будет равен углу . Это утверждение справедливо, так как прямые a₁ и b₁ совпадут с прямыми a₂ и b₂ соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М₁ перейдет в точку М₂. Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М.

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M. Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.

Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.

Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов, а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.

Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).

Поставим перед собой задачу: найти угол  между скрещивающимися прямыми a и b, которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве.

Решим ее.

Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a₁ и b₁, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол  между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a₁ и b₁ по определению.

Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a₁ и b₁. Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a₁ и b₁.

Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямойпозволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a₁ и b₁ можно принять направляющие векторы  и  прямых a и b соответственно.

Координаты векторов  и  определяются либо по известным из условия уравнениям прямыхa и b (смотрите раздел координаты направляющего вектора прямой), либо по известным из условия координатам двух точек прямых a и b (здесь может быть полезна теория разделакоординаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется по формуле , где  и  - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми a и bимеет вид .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус: .

Осталось разобрать решения примеров.

В заключении рассмотрим решение задачи, в которой требуется отыскать угол между скрещивающимися прямыми, а прямоугольную систему координат приходится вводить самостоятельно.

Я что-то не договорил про угол между скрещивающимися прямыми, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое угол между скрещивающимися прямыми и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия