Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей кратко

Привет, сегодня поговорим про параллельные плоскости, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое параллельные плоскости, признак параллельности плоскостей , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем).

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Аналитическое определение

Если плоскости

и

параллельны, то нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Пример 1

Плоскости и параллельны, так как

Пример 2

Плоскости и непараллельны, так как , а
Замечание. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
то плоскости совпадают. Так уравнения и представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

Теорема

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.



Доказательство

Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке A, b1 и b2 – соответственно параллельные им прямые в плоскости β.
Предположим, что плоскости α и β не параллельны, а значит пересекаются по некоторой прямой с. По теореме о признаке параллельности прямой и плоскости прямые a1 и a2, как параллельные прямые b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку A проходят прямые a1 и a2, параллельные прямой с. Это невозможно по аксиоме параллельных. Что противоречит предположению. Теорема доказана.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Свойства параллельных плоскостей
• параллельность прямой и плоскости
• параллельность прямых
• антипараллельность
• параллельность

Я что-то не договорил про параллельные плоскости, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое параллельные плоскости, признак параллельности плоскостей и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия