Лекция 4 мин.
Привет, Вы узнаете о том , что такое праймориал, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое праймориал, композиториал , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..
праймориал , примориал (англ. Primorial) — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.
Термин «праймориал» ввел в научный оборот американский инженер и математик Харви Дабнер в 1987 году.
pn# как функция n на логарифмической шкале
n# как функция n (выделено красным), по сравнению с n!. Оба графика в логарифмической шкале
Для n-го простого числа pn праймориал pn# определен как произведение первых n простых чисел :
,
где pk — k-е простое число.
Например, p5# обозначает произведение первых 5 простых чисел:
.
Таким образом, первые шесть праймориалов:
1, 2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS, также включает p0# = 1 как пустое произведение ).
Асимптотически праймориалы pn# растут в соответствии с
pn#=e[1+o(1)]nlogn,
где o(⋅) является нотацией «o» малого.
В общем случае для целого положительного числа n праймориал n# может быть определен как произведение простых чисел, меньших или равных n:
где π(n) является функцией распределения простых чисел (последовательность A000720 в OEIS), дающая количество простых чисел ≤ n, что эквивалентно
Например, 12# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых ≤ 12:
Таким образом, π(12)=5 может быть вычислено как
Рассмотрим первые 12 праймориалов:
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В приведенном выше примере мы имеем, что 12# = p5# = 11#, поскольку 12 является составным числом.
Натуральный логарифм n# — это первая функция Чебышева, записанная в виде θ(n) или ϑ(n) , что приближается к линейной n для больших значений n.
Праймориалы n# растут в соответствии с
Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23# дает в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел.
Каждое многосоставное число можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30)].
Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет простые делители любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n отношение ϕ(n)/n меньше, чем для любого целого числа, где ϕ является функцией Эйлера.
Каждый праймориал является слабо тотиентным числом .
Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена с использованием праймориала и функции Жордана Jk(n) :
| n | n# | pn | pn# |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | не существует | не существует |
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 3 | 6 | 5 | 30 |
| 4 | 6 | 7 | 210 |
| 5 | 30 | 11 | 2310 |
| 6 | 30 | 13 | 30030 |
| 7 | 210 | 17 | 510510 |
| 8 | 210 | 19 | 9699690 |
| 9 | 210 | 23 | 223092870 |
| 10 | 210 | 29 | 6469693230 |
| 11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
| 12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
| 13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
| 14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
| 15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
| 16 | 30030 | 53 | 32589158477190044730 |
| 17 | 510510 | 59 | 1922760350154212639070 |
| 18 | 510510 | 61 | 117288381359406970983270 |
| 19 | 9699690 | 67 | 7858321551080267055879090 |
| 20 | 9699690 | 71 | 557940830126698960967415390 |
Композиториал числа n в отличие от праймориала является произведением составных чисел, меньших или равных n. Композиториал равен отношению факториала и праймориала числа: 
. Первые пятнадцать композиториалов (исключая повторяющиеся значения) равны 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000.
Исследование, описанное в статье про праймориал, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое праймориал, композиториал и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про праймориал
Комментарии