Hi there! Our project relies on ads or donation to keep the site free to use. Please sending a donation . Thanks!
Подождите, пожалуйста, выполняется поиск в заданном разделе

Формулы для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про сводка формул для всех видов соединений комбинаторика - перестановки, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое сводка формул для всех видов соединений комбинаторика - перестановки,размещения с повторениями,перестановки,сочетания,соединения,комбинаторика,треугольник паскаля , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

План
1. Выборки
2. Размещения без и с повторениями.
3. Перестановки без повторений
4. Перестановки с повторениями
5. Сочетания без повторений
6. Сочетания с повторениями
7. Комбинаторика разбиений
8. Рекомендации по решению задач по комбинаторике

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций.

Примерами комбинаторных конфигураций являются:

  • Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества .
  • Перестановкой из n элементов (например чисел 1, 2, … n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
  • Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
  • Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
  • Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

1. Выборки

Рассмотрим множество А = {а1, а2,..., аn}, содержащее n различных элементов, которое будем называть n-множеством
или генеральной совокупностью объема n. Из n-множества можно образовать его части (подмножества).
Определение. Подмножество, состоящее из m элементов n-множества, называют m-подмножеством n-множества или со-
единением из n элементов по m, или выборкой объема m из генеральной совокупности объема n.
Возможны два способа выбора:


1. Выбор без возвращения, при котором однажды выбранный элемент удаляется из генеральной совокупности. Выборка
(соединение) в этом случае не содержит повторяющихся элементов.

2. Выбор с возвращением, при котором выбор производится каждый раз из всей генеральной совокупности, то есть перед
следующим выбором предыдущий выбранный элемент возвращается в генеральную совокупность. В выборке (соединении) в
этом случае встречаются повторения.


Какие выборки одного и того же объема считать различными и какие одинаковыми, зависит от правил выбора соедине-
ния (подмножества, выборки).
Два соединения могут отличаться либо 1) составом, если они содержат хотя бы по одному различному элементу, либо
2) порядком входящих элементов.
В зависимости от правил выбора соединения делят на три типа: размещения, перестановки, сочетания. В зависимости от
способа выбора (без возвращения или с возвращением) каждый тип соединения может быть без повторений или с повторениями.

2. Размещения без и с повторениями.



Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой
можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов,
среди которых есть одинаковые?

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами
Определение. Размещениями из n элементов по m называются соединения из n элементов по m, которые отличаются
друг от друга либо своими элементами (составом), либо порядком их расположения.

На языке теории множеств это звучит следующим образом: размещения из n элементов по m – это упорядоченное
m-подмножество n-множества (упорядоченная m-выборка из генеральной совокупности объема n). Термин «упорядоченная»
означает, что порядок следования элементов в выборке существенен: выборки с одними и теми же элементами, но с разным
порядком их следования различны.


Задача. Пусть имеется множество, содержащее 4 буквы:
{А, B, C, D}. Записать все возможные размещения из 4 указанных букв по две:

а) без повторений;

б) с повторениями.


Решение.

а) Таких размещений 12: (АВ), (AC), (АD), (ВС),(ВD), (BA), (CA), (CB), (СD), (DА), (DВ), (DС). Заметим, что
размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Размещения АВ и ВА содержат одинаковые буквы,
но порядок их расположения различен.
б) Таких размещений 16. К приведенным для случая (а)
размещениям добавляются размещения из одинаковых элементов (АА), (BB), (CC), (DD).


Задача. Пусть имеется множество, содержащее 2 буквы:{A, B}. Записать все возможные размещения с повторениями из
4-х букв.
Решение. Таких размещений 16: (AAAA), (BBBB), (AAAB),(AABA), (ABAA), (BAAA), (AABB), (ABAB), (BABA), (BBAA), (ABBA),
(BAAB), (BBBA), (BBAB), (BABB), (ABBB).


Теорема 3. 3.1 Число различных размещений без повторений Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами из n элементов по m равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

для выборки без возвращения.

3.2 Число размещений с повторениями Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами из n элементов по m равноm Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами (2) для выборки с возвращением.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся пра- вилом умножения.

Рассмотрим выборки без возвращения. Для выбора первого элемента имеется n возможностей, второго – (n – 1)

(перед вторым выбором в генеральной совокупности ос- талось (n –1) элементов),..., при m-ом выборе (n – m + 1) воз- можностей.

Таким образом, по правилу умножения

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

. Запишем выражение в более удобном виде, умножив и разделив его на (m – n)!

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

. Считается, что 0! = 1, что позволяет использовать эту формулу для случая m = n.

Рассмотрим выборки с возвращением. Для выбора первого элемента имеется n возможностей, второго – тоже n (перед выбо-
ром очередного элемента предыдущий выбранный элемент зафиксирован и возвращен в генеральную совокупность), при m-м вы-
боре тоже n возможностей. Таким образом Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами.


Задача. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии.

Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
Решение. В данной задаче генеральной совокупностью являются 12 страниц газеты, и выборкой без возвращения 4 выбранные из них страницы для фотографий. В данной задаче важно не только то, какие выбраны страницы, но и в каком порядке (для расположения фотографий). Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Задача. У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих
штампов нанести на все книги пятизначные номера – составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может со-
ставить мальчик?
Решение. Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр {1, 3, 7}. Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

3 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Перестановки без повторений


Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Определение. Размещения, в которых участвуют все n элементов генеральной совокупности, называются перестановками без повторений из n элементов. Перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются между собой порядком.

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. Пусть имеется множество букв {A, B, C}. Записать все возможные перестановки.
Решение. Этому множеству букв соответствует 6 перестановок: (АВС), (ACB), (BAC), (BCA), (CBA), (CAB).

Теорема. Число перестановок n различных элементов равно n!, т. е. Рn = n!

Доказательство. Так как перестановки являются частным случаем размещений, то при n = m получаем

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Замечание. При больших n для подсчета факториала исполь- зуют таблицу логарифмов факториалов либо приближенную формулу Стирлинга

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова «брак»?

Решение. Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» {б, р, а, к}.

Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е. Р4 = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Задача. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Решение. В исходной генеральной совокупности – 9 разных книг.

Будем считать выделенные 4 книги за одну.

Тогда для остальных 6 книг существует Р6 = 6! = 720 перестановок.

Однако четыре определенные книги можно переставить между собой Р4 = 4! = 24 способами.

По правилу умножения имеем Р6 x Р4 = 720 x 24 = 17280.

4. Перестановки с повторениями

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на
n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Определение. Перестановками с повторениями называются соединения из генеральной совокупности, каждое из которых содержит n элементов, среди которых элемент


а1 повторяется n1 раз,
а2 повторяется n2 раз,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
аn повторяется nk раз
n1 + n2 + ... + nk = n
и которые отличаются друг от друга только порядком расположения различных элементов.

Теорема. Число перестановок с повторениями

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

. Доказательство. Доказательство очевидно, так как перестановки одинаковых элементов в перестановке с повторениями не дают новой перестановки.

Задача.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение. Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв.

Следовательно, число перестановок с повторениями равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

5. Сочетания без повторений


Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из п различных предметов ?
Определение. Сочетаниями из n различных элементов по m называются соединения из n элементов по m (m <=n), которые
отличаются друг от друга только составом элементов.


Задача. Пусть имеется множество, содержащее 4 буквы {A, B, C, D}. Запишем все возможные сочетания из указанных букв по 3.
Решение. Таких сочетаний 4: ABC, ACD, ABD, BCD.
Здесь в число сочетаний не включены, например, АСВ,ВСА, так как они не отличаются по составу от последовательности букв АВС, потому что перестановка элементов нового сочетания не дает.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по m равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами .

Доказательство.

Вспомним, что и сочетания, и размещения из n элементов по m – это выборки объема m из генеральной совокупности объема n и разница между ними в том, что в случае размещений важен и состав, и порядок элементов, тогда как в случае сочетаний важен только состав элементов. Пусть имеется какое-то одно сочетание. Для того, чтобы образовать все размещения с такими же элементами, нужно осуществить всевозможные перестановки элементов этого сочетания. Поскольку в сочетании m элементов, то существует m! перестановок. Следовательно, одному сочетанию, состоящему из m элементов, соответствует m! размещений с этими элементами. Поэтому

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Числа Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами называются биномиальными коэффициентами: они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющих- ся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Генеральной совокупностью является 10 раз- личных книг. Из них нужно выбрать 4, причем порядок выбора книг не играет роли. Нужно найти число сочетаний из 10 элементов по

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных?

Решение. Имеем 15 шаров: 10 белых и 5 черных. Нужно выбрать 7 шаров: 4 белых и 3 черных.

Разобьем 15 шаров на 2 генеральные совокупности:

1) 10 белых шаров;

2) 5 черных шаров.

4 белых шара будем выбирать из I генеральной совокупности, порядок выбора безразличен, их можно выбрать

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами способами. 3 черных шара будем выбирать из II генеральной совокупности, их можно выбрать

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами способами.

Тогда по правилу умножения искомое число способов равно Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами.

Решение этой задачи можно схематически представить следующим образом

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. Десять команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е место.

Две команды, занявшие последние места, не будут участвовать в следующем таком же первенстве.

Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать только положение первых трех и последних двух команд.

Решение. Имеется генеральная совокупность объема 10 команд. Из нее будем выбирать 5 команд в 2 этапа:

1) сначала на первые 3 места из 10 с учетом состава и порядка команд;

2) затем на последние 2 места из оставшихся 7 с учетом только состава (порядок выбывших команд не важен).

Первые 3 места могут быть распределены Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами способами.

Число способов исключить 2 команды из оставшихся 7 равно Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами.

Согласно правилу умножения получаем, что число разных результатов неравенства равно Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами0.

Решение этой задачи можно схематически представить следующим образом:

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача.

Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни одни из них не будет подверг нут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем порядок, в котором опрашивают- ся учащиеся, безразличен?

Решение.

I способ. Имеется генеральная совокупность объема 11 учащихся. Преподаватель может не опросить ни одного из 11 учащихся, что является одним из вариантов. Этому случаю соответствует Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами . Преподаватель может опросить только одного из учащихся, таких вариантов Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами .

Если преподаватель опросит двух учащихся, то число вариантов опроса Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами . Для опроса трех учащихся существует Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами вариантов и т. д.

Наконец, могут быть опрошены все учащиеся. Число вариантов в этом случае Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами .

Число всех возможных вариантов опроса можно найти по пра- вилу сложения

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Решение этой задачи можно схематически представить следующим образом:

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

II способ. Имеется генеральная совокупность, состоящая из 2 элементов:

{а, в}, где а – ученик опрошен, в – ученик не опрошен на данном занятии.

Опыт состоит в 11-кратном выборе с возвращением одного из элементов этого множества – каждый из 11 учеников либо опрошен, либо не опрошен.

В данной задаче важно не только то, какие выбраны элементы множества (сколько учеников опрошено и сколько нет),

но и в каком порядке (т. е. какой именно ученик опрошен или нет).

Число способов такого выбора определяется числом размещений с повторениями из 2 элементов по 11; Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами.

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

6. Сочетания с повторениями


Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями:
имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов;

сколькими способами можно выбрать m (m <= r) из этих (n x r) предметов?


Определение. Сочетаниями с повторениями называются соединения из n элементов по m (выбор с возвращением m элементов), которые отличаются только составом и при этом отдельные соединения могут содержать повторяющиеся элементы.


Задача. Имеются 2 буквы А, 2 буквы В, 2 буквы С. Сколькими способами можно выбрать две из этих шести букв?
Решение. Существует 6 способов выбора 2 букв из 6 с повторениями: (АА), (AB), (AC), (BC), (BB), (CC). Порядок следо-
вания букв не учитывается.

Теорема. Число Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами сочетаний с повторениями равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

. Доказательство. Пусть имеются предметы n различных типов. Сколько соединений по m элементов можно из них сделать, если не принимать во внимание порядок элементов. Расположим в каждом сочетании элементы по типам (сначала все элементы 1-го типа, потом 2-го и т. д.). После этого перенумеруем все элементы в сочетании, но к номерам элементов второ- го типа прибавим 1, третьего типа – 2 и т. д. Тогда из каждого сочетания с повторениями получится сочетание без повторений, состоящее из чисел 1, 2,..., n + m – 1, причем в каждое сочетание входит m элементов.

Отсюда следует, что

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. В технической библиотеке имеются книги по ма- тематике, физике, химии и т. д., всего по 16 разделам науки.

Поступили очередные 4 заказа на литературу. Сколько сущест- вует вариантов такого заказа?

Решение. Так как 4 заказанные книги могут быть и из одно- го раздела науки, и из разных разделов, при этом порядок выбора разделов не важен, то число вариантов заказа определяется чис- лом сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т. е.

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Задача. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение. Очевидно, что порядок, в котором выбираются пирожные, не существен, причем в комбинации могут входить повторяющиеся элементы (например, можно купить 7 эклеров). Следовательно, число способов покупки 7 пирожных определяется числом сочетаний с повторениями из 4 элементов по 7, т. е

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

7. Комбинаторика разбиений

Рассмотрим в этом классе задач две следующие задачи:

1. Даны n различных предметов и k различных групп. Сколькими способами можно распределить n различных предметов по k различным группам, если допускаются пустые группы. Ниже покажем, что число способов равно k^n .

2. Даны n различных предметов и k различных групп. Сколькими способами можно распределить n различных пред- метов по k группам, если в первой группе n1 предметов, во второй – n2, в k-й – nk, где n1 + n2 +... + nk = n. Ниже покажем, что число способов равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Рассмотрим решение первой задачи. Пусть генеральной совокупностью будет k различных групп {1, 2,..., k}. Можно считать, что опыт состоит в n-кратном выборе с возвращением номера группы для каждого предмета. Заметим, что поскольку предметы разные, то важно не только, какие группы выбираются для предметов, но и в каком порядке выбираются эти группы. Таким образом, число способов раз- бить n различных предметов на k групп определяется числом размещений с повторениями и k элементов по n:

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Рассмотрим решение второй задачи.

Разбиение n предметов по k группам можно выполнить следующим образом. Сначала положим все n предметов в ряд. После этого возьмем первые n1 предметов и поместим их в первую группу, вторые n2 предмета – во вторую группу, ..., последние nk предметов в k-ю группу. Ясно, что меняя положение предметов в ряду, можно получить всевозможные разбиения предметов. Так как число перестановок из n элементов равно n!, то число расположения предметов в ряд равно n! При этом заметим, что любая перестановка первых n1 предметов ничего не меняет, так же как и вторых n2, ..., и последних nk. В силу правила произведения получим n1!n2!...nk! перестановок предметов, не меняющих результата раздела. Таким образом, число способов разбиения на группы равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Формула совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями. К этому же результату можно прийти иначе. Первые n1 предметов выбираем из n предметов. Так как порядок выбранных предметов безразличен, то имеет Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами выборов. После этого следующие n2 предмета выбираем из оставшихся n – n1. Это можно сделатьФормулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами способами, и т. д.

Наконец, последние nk предметов выбираем из оставшихся nk. Это можно сделатьФормулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами , т. е. единственным способом. По правилу произведения получаем, что число способов разбиения на группы равно

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

. Как видим, задачи о разбиениях привели к уже известным формулам комбинаторики.

Задача. 7 одинаковых шариков случайным образом рас- сыпаются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шаров). Сколько существует различных способов распре- деления 7 шариков по 4 лункам?

Решение. Мы имеем 7 шариков, которые распределяем по 4 лункам (лунки могут быть пустые), т. е. это соответствует первой задаче о разбиениях, число способов равно 4^7 = 16348

Задача. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение. Это задача о разделе 28 костей между 4 игрока- ми по 7 костей. Используя полученную выше формулу для числа способов такого раздела (задача 2), имеем

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

8. Рекомендации по решению задач по комбинаторике


Решение комбинаторных задач представляет известную трудность для начинающих. Причин много, но одна из них очевидна – при изложении комбинаторики используется своя специфическая терминология (генеральная совокупность, выборка, правила выбора). В задаче же этих терминов, как правило, нет –сформулирована она на обычном литературном языке и комби-

наторные понятия присутствуют в ней в неявной форме. Поэтому после усвоения содержания задачи нужно ее «перевести»
на математический язык.
Для этого необходимо выяснить,
1) что является генеральной совокупностью - она всегда будет присутствовать в задаче, т. е. комбинаторные задачи свя-
заны с выбором объектов, а этот выбор из чего-то (генеральной совокупности) производится; каков объем генеральной сово-
купности;
2) одна или несколько генеральных совокупностей;
3) что является выборкой и каков объем выборки;
4) правила выбора: допустимы или нет повторы, важен ли порядок выбираемых элементов, возможно ли изменение состава.
После этого полезно для себя переформулировать задачу на языке генеральных совокупностей и выборок. В зависимости
от ситуации выбрать нужную формулу (см. таблицу). Иногда в более сложных задачах приходится использовать совместно не-
сколько формул.

В заключение приведем основные свойства чисел Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами.

Прежде всего, построим таблицу таких чисел, используя формулу (3.11).

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Таблица чисел Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами имеет треугольную форму и называется треугольником Паскаля по имени математика Блеза Паскаля (1623-1662). Анализируя треугольник Паскаля, легко видеть основные свойства чисел Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами.

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

Свойства 1 – 2 вытекают из определения сочетания как подмножества, содержащего m элементов множества, имеющего n элементов.

Свойства 3 – 5 доказываются методом математической индукции.

В силу свойства 4 треугольник Паскаля легко продолжить вниз на любое число шагов.

Формулы  для всех видов соединений в комбинаторике - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами

рис схема определения вида расстановок и выбора формул

Что я не полностью рассказал о сводка формул для всех видов соединений комбинаторика - перестановки? Напиши в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое сводка формул для всех видов соединений комбинаторика - перестановки,размещения с повторениями,перестановки,сочетания,соединения,комбинаторика,треугольник паскаля и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятелно рекомендую изучить комплексно всю информацию в категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Комментарии (1)

avatar
Admin 19.5.2020 23:22

Еще подробнее про виды перестановок и примеры можно прочитать тут
https://intellect.icu/perestanovki-sochetaniya-i-razmeshheniya-s-i-bez-povtorenij-4268


avatar

Чтобы оставить комментарий войдите или зарегистрируйтесь



Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.