Отношение эквивалентности в теории множеств кратко

Лекция



Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game

Привет, сегодня поговорим про отношение эквивалентности, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое отношение эквивалентности , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

Отношение эквивалентности (Отношение эквивалентности в теории множеств) на множестве Отношение эквивалентности в теории множеств — это бинарное отношение, для которого при любых Отношение эквивалентности в теории множеств из Отношение эквивалентности в теории множеств выполнены следующие условия:

  1. рефлексивность: Отношение эквивалентности в теории множеств;
  2. симметричность: если Отношение эквивалентности в теории множеств, то Отношение эквивалентности в теории множеств;
  3. транзитивность: если Отношение эквивалентности в теории множеств и Отношение эквивалентности в теории множеств, то Отношение эквивалентности в теории множеств.

Запись вида «Отношение эквивалентности в теории множеств» читается как «Отношение эквивалентности в теории множеств эквивалентно Отношение эквивалентности в теории множеств».

Отношение эквивалентности представляет собой строгое матема­тическое определение таких обыденных понятий как «одинаковость» или «неразличимость».

Обозначается X~Y. Отношение эквивалентности А в множестве М означает, что упорядоченная пара (X, Y) принадлежит множеству А Ì М´М.

Отношение эквивалентности обладает свойствами:

· Рефлексивности: X~Y;

· Симметричности: если X~Y, то Y~X;

· Транзитивности: если X~Y и Y~Z, то X~Z.

Важнейшее значение эквивалентности состоит в том, что это отношение определяет признак, который допускает разбиение множества М на непересекающиеся подмножества, называемые Клас­Сами эквивалентности. И наоборот: всякое разбиение множества М на непересекающиеся подмножества определяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности.

Например: Отношение «проживать в одном доме», заданное в множестве жителей города, является эквивалентностью и разбивает это множество на непересекающиеся подмножества людей, являющихся соседями по дому.

Все элементы, принадлежащие некоторому классу МI разбиения {М1, М2,..., МN} множества М на классы эквивалентности, связаны отношением эквивалентности. Любой из этих элементов определяет данный класс и может служить его Представителем или Эталоном.

Произвольное отношение эквивалентности определяет на некотором множестве обобщенную форму равенства. Классы эквивалентности состоят из всех тех элементов, которые неразличимы с точки зрения данного отношения эквивалентности. При этом каждый класс определяется его представителем (эталоном) и отождествляется с некоторым общим свойством или совокупностью свойств входящих в него элементов.

Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game
Предельным случаем отношения эквивалентности является Тождественное равенство. Очевидно, что единственный элемент, тождественно равный какому-либо данному элементу, есть этот самый элемент. Следовательно, в данном случае имеем самое полное разбиение, при котором классы эквивалентности содержат только по одному элементу исходного множества.

Рассмотрим матрицу отношения эквивалентности.

Элементы, принадлежащие некоторому классу эквивалентности, попарно эквивалентны между собой, а их сечения совпадают. Сле­довательно, столбцы матрицы отношения эквивалентности для элемен­тов одного класса одинаковы и содержат «1» во всех строках, которые соответствуют этим элементам. Так как классы эквивалентности не пересекаются, то в столбцах различных классов не будет единиц в одинаковых строках. Если расположить элементы множества так, чтобы в каждом классе эквивалентности принадлежащие ему элементы стояли рядом, то единичные элементы матрицы образуют непересекаю­щиеся квадраты, диагонали которых располагаются на главной диагонали матрицы.

Например: Пусть множество М разбито на классы эквивалент­ности следующим образом:

М1 = {Х1, х2, х3}; М2 = {Х4}; М3 = {Х5, х6, х7, х8}.

Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game
Признаки, по которым элементы множества разбиваются на классы, могут быть самыми разнообразными, но все же такой признак не вполне произволен.

Xi

Xj

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X1

1

1

1

X2

1

1

1

X3

1

1

1

X4

1

X5

1

1

1

1

X6

1

1

1

1

X7

1

1

1

1

X8

1

1

1

1

Предположим, Например, что мы хотим разбить точки плоскости на классы, относя две точки к одному классу в том, и только в том случае, когда расстояние между ними меньше 1. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть расстояние от точки А до точки Bменьше 1, и расстояние от B До С тоже меньше 1. Тогда, относя А в один класс с B, а B в один класс с С , мы должны отнести С в один класс с А. Но расстояние от А до С может быть и больше 1. Следовательно, такой признак не позволяет разбить мно­жество на классы эквивалентности. Это объясняется тем, что для него не выполняется свойство транзитивности: если А ~ B, а B ~ С, то А ~ С. Таким образом, можно определить отношение эквивалентности как бинарное отношение, для которого выполняются свойства рефлексив­ности, симметричности и транзитивности.

Выполнение этих условий является необходимым и достаточным для того, чтобы данный признак позволял разбить множество на классы эквивалентности.

Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game
Пример: на множестве из 6-ти ниже приведенных графов

Отношение эквивалентности в теории множеств

построим граф, соответствующий отношению эквивалентности.

Решение:

т.к. отношение эквивалентности на множестве объектов есть совокупность трех свойств – рефлективности, симметричности и транзитивности, то имеем:

Отношение эквивалентности в теории множеств

Здесь: М1М={σ123456}, Мi – множество попарно изолированных графов, т.е. М1={ σ125}. Аналогично М2М и М2={ σ34}, М3М и М3={ σ6}. Итак, отношением эквивалентности множество М из 6-ти графов разбивается на три непересекающихся подмножества изоморфных графов М1М2=Ø, М1М3=Ø, М2М3=Ø, M1M2M3=M.

Иллюстративные примеры отношений эквивалентности

Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game
Отношение эквивалентности в теории множеств

Связанные определения

Классом эквивалентности Отношение эквивалентности в теории множеств элемента Отношение эквивалентности в теории множеств называется подмножество элементов, эквивалентных Отношение эквивалентности в теории множеств; то есть,

Отношение эквивалентности в теории множеств.

Из вышеприведенного определения немедленно следует, что если Отношение эквивалентности в теории множеств, то Отношение эквивалентности в теории множеств.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества Отношение эквивалентности в теории множеств по заданному отношению Отношение эквивалентности в теории множеств, обозначается Отношение эквивалентности в теории множеств.

Для класса эквивалентности элемента Отношение эквивалентности в теории множеств используются следующие обозначения: Отношение эквивалентности в теории множеств, Отношение эквивалентности в теории множеств, Отношение эквивалентности в теории множеств.

Множество классов эквивалентности по отношению Отношение эквивалентности в теории множеств является разбиением множества.

Примеры

  • Равенство («Отношение эквивалентности в теории множеств»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
  • Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
  • В евклидовой геометрии
    • Отношение конгруэнтности («Отношение эквивалентности в теории множеств»).
    • Отношение подобия («Отношение эквивалентности в теории множеств»).
    • Отношение параллельности прямых («Отношение эквивалентности в теории множеств») (но только если дополнительно к принятому определению считать каждую прямую параллельной самой себе).
  • Эквивалентность функций в математическом анализе:

    Говорят, что функция Отношение эквивалентности в теории множеств эквивалентна функции Отношение эквивалентности в теории множеств при Отношение эквивалентности в теории множеств, если она допускает представление вида Отношение эквивалентности в теории множеств, где Отношение эквивалентности в теории множеств при Отношение эквивалентности в теории множеств. В этом случае пишут Отношение эквивалентности в теории множеств, напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при Отношение эквивалентности в теории множеств. Если Отношение эквивалентности в теории множеств при Отношение эквивалентности в теории множеств, эквивалентность функций Отношение эквивалентности в теории множеств и Отношение эквивалентности в теории множеств при Отношение эквивалентности в теории множеств, очевидно, равносильна соотношению Отношение эквивалентности в теории множеств.

  • Эквивалентность норм на векторном пространстве.
  • Отношение равномощности множеств.
  • Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
  • Эквивалентность категорий.
  • Изоморфизм в некоторой категории задает отношение эквивалентности на этой категории.
  • Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности Отношение эквивалентности в теории множеств, обозначается символом Отношение эквивалентности в теории множеств и называется фактормножеством относительно Отношение эквивалентности в теории множеств. При этом сюръективное отображение

Отношение эквивалентности в теории множеств

называется естественным отображением (или канонической проекцией) Отношение эквивалентности в теории множеств на фактормножество Отношение эквивалентности в теории множеств.

Пусть Отношение эквивалентности в теории множеств и Отношение эквивалентности в теории множеств — множества, Отношение эквивалентности в теории множеств — отображение, тогда бинарное отношение Отношение эквивалентности в теории множеств, определенное правилом

Отношение эквивалентности в теории множеств,

является отношением эквивалентности на Отношение эквивалентности в теории множеств. При этом отображение Отношение эквивалентности в теории множеств индуцирует отображение Отношение эквивалентности в теории множеств, определяемое правилом

Отношение эквивалентности в теории множеств

Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game
или, что то же самое,

Отношение эквивалентности в теории множеств.

При этом получается факторизация отображения Отношение эквивалентности в теории множеств на сюръективное отображение Отношение эквивалентности в теории множеств и инъективное отображение Отношение эквивалентности в теории множеств.

Danger dungeon quest

Game: Perform tasks and rest cool.7 people play!

Play game
Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Надеюсь, эта статья про отношение эквивалентности, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое отношение эквивалентности и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про отношение эквивалентности
создано: 2015-01-06
обновлено: 2024-11-14
916



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей

Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Термины: Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.