Алгоритм Брона — Кербоша - метод ветвей и границ для поиска всех клик неориентированного графа кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое алгоритм брона-кербоша, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое алгоритм брона-кербоша , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

Алгоритм Брона — Кербоша — метод ветвей и границ для поиска всех клик (а также максимальных по включению независимых множеств вершин) неориентированного графа. Разработан голландскими математиками Броном и Кербошем в 1973 году и до сих пор является одним из самых эффективных алгоритмов поиска клик.

Алгоритм

Алгоритм использует тот факт, что всякая клика в графе является его максимальным по включению полным подграфом. Начиная с одиночной вершины (образующей полный подграф), алгоритм на каждом шаге пытается увеличить уже построенный полный подграф, добавляя в него вершины из множества кандидатов. Высокая скорость обеспечивается отсечением при переборе вариантов, которые заведомо не приведут к построению клики, для чего используется дополнительное множество, в которое помещаются вершины, которые уже были использованы для увеличения полного подграфа.

Алгоритм оперирует тремя множествами вершин графа:

1. Множество compsub — множество, содержащее на каждом шаге рекурсии полный подграф для данного шага. Строится рекурсивно.
2. Множество candidates — множество вершин, которые могут увеличить compsub
3. Множество not — множество вершин, которые уже использовались для расширения compsub на предыдущих шагах алгоритма.

Алгоритм является рекурсивной процедурой, применяемой к этим трем множествам.

ПРОЦЕДУРА extend (candidates, not):
  ПОКА candidates НЕ пусто И not НЕ содержит вершины, СОЕДИНЕННОЙ СО ВСЕМИ вершинами из candidates, 
  ВЫПОЛНЯТЬ:
  1 Выбираем вершину v из candidates и добавляем ее в compsub
  2 Формируем new_candidates и new_not, удаляя из candidates и not вершины, не СОЕДИНЕННЫЕ с v
  3 ЕСЛИ new_candidates и new_not пусты
  4 ТО compsub – клика
  5 ИНАЧЕ рекурсивно вызываем extend (new_candidates, new_not)
  6 Удаляем v из compsub и candidates, и помещаем в not

Вариации

Нахождение максимальных (по включению) независимых множеств вершин[

Нетрудно видеть, что задача о клике и задача о независимом множестве по сути эквивалентны: каждая из них получается из другой, путем построения дополнения графа — такого графа, в котором есть все вершины исходного графа, причем в дополнении графа вершины соединены ребром тогда и только тогда, если они не были соединены в исходном графе.

Поэтому алгоритм Брона — Кербоша можно использовать для нахождения максимальных по включению независимых множеств вершин, если построить дополнение к исходному графу, либо изменив условие в основном цикле (условие остановки) и формирование новых множеств new_candidates и new_not:

1. Условие в основном цикле: not не должно содержать ни одной вершины, НЕ СОЕДИНЕННОЙ НИ С ОДНОЙ из вершин во множестве candidates
2. Для формирования new_candidates и new_not, необходимо удалять из candidates и not вершины, СОЕДИНЕННЫЕ с выбранной вершиной.

Вычислительная сложность

Линейна относительно количества клик в графе. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Tomita, Tanaka и Haruhisa в 2006 показали, что в худшем случае алгоритм работает за O(3^n/3), где n — количество вершин в графе.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Раскраска графа
• Перебор с возвратом

Исследование, описанное в статье про алгоритм брона-кербоша, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое алгоритм брона-кербоша и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.