ТРАНСФИНИТНОЕ ЧИСЛО

Привет, Вы узнаете о том , что такое трансфинитное число, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое трансфинитное число, трансфинит , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

ТРАНСФИНИ́ТНОЕ ЧИСЛО́ (от транс... и лат. finitus – ог­ра­ни­чен­ный), обоб­ще­ние по­ня­тия по­ряд­ко­во­го чис­ла (см. ни­же). Оп­ре­де­ле­ние трансфинит ное число опи­ра­ет­ся на по­ня­тие впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва. Ка­ж­дое ко­неч­ное мно­же­ст­во мож­но сде­лать впол­не упо­ря­до­чен­ным, рас­по­ло­жив все его эле­мен­ты в оп­ре­де­лен­ном по­ряд­ке. Про­стей­шим при­ме­ром бес­ко­неч­но­го впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во всех на­ту­раль­ных чи­сел, рас­по­ло­жен­ных в по­ряд­ке воз­рас­та­ния; то же мно­же­ст­во, рас­по­ло­жен­ное в по­ряд­ке убы­ва­ния (так, что боль­шее счи­та­ет­ся пред­ше­ст­вую­щим мень­ше­му), уже не бу­дет впол­не упо­ря­до­чен­ным, т. к. ни од­но его бес­ко­неч­ное под­мно­же­ст­во не име­ет пер­во­го эле­мен­та. Два упо­ря­до­чен­ных под­мно­же­ст­ва X и Y на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми или имею­щи­ми один и тот же по­ряд­ко­вый тип, ес­ли ме­ж­ду их эле­мен­та­ми мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, со­хра­няю­щее по­ря­док эле­мен­тов. Все ко­неч­ные впол­не упо­ря­до­чен­ные мно­же­ст­ва, со­дер­жа­щие оди­на­ко­вое чис­ло эле­мен­тов, по­доб­ны ме­ж­ду со­бой. По­это­му по­ряд­ко­вые ти­пы ко­неч­ных впол­не упо­ря­до­чен­ных мно­жеств мож­но ото­жде­ст­вить с на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми, ко­то­рые по­яв­ля­ют­ся, та­ким об­ра­зом, как по­ряд­ко­вые чис­ла (то­гда как, ха­рак­те­ри­зуя ко­ли­че­ст­во эле­мен­тов мно­же­ст­ва, те же на­ту­раль­ные чис­ла вы­сту­па­ют в дру­гом сво­ем ас­пек­те – ко­ли­че­ст­вен­ных чи­сел).

трансфинитное число на­зы­ва­ют­ся по­ряд­ко­вые ти­пы бес­ко­неч­ных впол­не упо­ря­до­чен­ных мно­жеств. Тем са­мым по­ня­тие трансфинитное число пред­став­ля­ет со­бой рас­про­стра­не­ние по­ня­тия по­ряд­ко­во­го чис­ла на бес­ко­неч­ные мно­же­ст­ва. Ана­ло­гич­ное обоб­ще­ние ко­ли­че­ст­вен­но­го чис­ла при­во­дит к по­ня­тию мощ­но­сти мно­же­ст­ва. Т. к. не­рав­но­мощ­ные мно­же­ст­ва нель­зя по­ста­вить во вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, то впол­не упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вам разл. мощ­но­сти со­от­вет­ст­ву­ют раз­лич­ные трансфинитное число Од­на­ко об­рат­ное (в от­ли­чие от ко­неч­ных мно­жеств) не­вер­но: бес­ко­неч­ные впол­не упо­ря­до­чен­ные мно­же­ст­ва мо­гут быть рав­но­мощ­ны­ми, не бу­ду­чи по­доб­ны­ми, и тем са­мым оп­ре­де­ляя раз­лич­ные транс­фи­нит­ные чис­ла.

Для трансфинитное число мож­но вве­сти по­ня­тия «боль­ше» и «мень­ше». Имен­но трансфинитное число α, по оп­ре­де­ле­нию, мень­ше трансфинитное число β (α<β), ес­ли ка­кое-ли­бо (а зна­чит, и лю­бое) впол­не упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во ти­па α по­доб­но не­ко­то­ро­му от­рез­ку ка­ко­го-ни­будь (а сле­до­ва­тель­но, и лю­бо­го) мно­же­ст­ва ти­па β. При этом от­рез­ком впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва, от­се­чен­ным эле­мен­том x, на­зы­ва­ет­ся под­мно­же­ст­во его эле­мен­тов, пред­ше­ст­вую­щих x. Для лю­бых двух трансфинитное число α и β все­гда ли­бо α<β, ли­бо α=β, ли­бо α>β.

В при­ме­не­нии трансфинитное число к разл. во­про­сам ма­те­ма­ти­ки важ­ную роль иг­ра­ет прин­цип транс­фи­нит­ной ин­дук­ции, обоб­щаю­щий обыч­ный прин­цип ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции на про­из­воль­ные впол­не упо­рядо­чен­ные мно­же­ст­ва: ес­ли не­ко­то­рое пред­ло­же­ние вер­но для пер­во­го эле­мен­та впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва X и ес­ли из то­го, что оно вер­но для всех эле­мен­тов мно­же­ст­ва X, пред­ше­ст­вую­щих дан­но­му эле­мен­ту x из мно­же­ст­ва X, сле­ду­ет его спра­вед­ли­вость и для эле­мен­та x, то это пред­ло­же­ние вер­но для ка­ж­до­го эле­мен­та мно­же­ст­ва X.

В математике , цифры трансфинитные являются числами , которые являются « бесконечным » в том смысле , что они больше всех конечных чисел, но не обязательно абсолютно бесконечной . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые представляют собой кардинальные числа, используемые для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные ординалы , которые являются порядковыми числами, используемыми для упорядочивания бесконечных множеств. Термин трансфинитный был введен Георгом Кантором в 1915 году, который хотел избежать некоторых последствий слова бесконечный в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не были конечными . Мало кто из современных писателей разделяет эти сомнения; теперь принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа "бесконечными". Тем не менее, термин «трансфинит» также остается в употреблении.

Определение

Любое конечное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и кардинальное. Кардинальные числа определяют размер наборов (например, мешок из пяти шариков), тогда как порядковые числа указывают порядок членов в упорядоченном наборе (например, «третий слева» или « двадцать седьмой день января. "). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия становятся разными. Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества, а трансфинитное порядковое число используется для описания местоположения внутри бесконечно большого упорядоченного множества. Наиболее заметными порядковыми и количественными числами являются, соответственно:

• ( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел в их обычном линейном порядке.
• ( Алеф-ноль ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также кардинальное из бесконечного множества натуральных чисел. Если аксиома выбора держится, следующий более высокий кардинальное число алеф-один , если нет, то могут быть и другие кардиналы , которые несравнимы с алеф-один и больше , чем алеф-нуль. В любом случае, между aleph-naught и aleph-one нет кардиналов.

Гипотеза континуума является предположение , что не существует никаких промежуточных между кардинальные числа и мощности континуума (имеет мощность множества действительных чисел ): или что то же самое , что является мощность множества действительных чисел. В теории множеств Цермело – Френкеля ни гипотеза континуума, ни ее отрицание не могут быть доказаны без нарушения согласованности.

Некоторые авторы, включая П. Суппеса и Дж. Рубина, используют термин трансфинитный кардинал для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это не может быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или неизвестно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие эквиваленты:

• трансфинитный кардинал. То есть существует бесконечное множество Дедекинда , мощность которого равна
• 
• 
• Есть такой кардинал , что

Примеры

В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника. Именуется следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое число . В этом контексте больше , и , и еще больше. Арифметические выражения, содержащие указание порядкового номера, могут рассматриваться как набор всех целых чисел до этого числа. У данного числа обычно есть несколько выражений, которые его представляют, однако существует уникальная нормальная форма Кантора, которая представляет его, по сути, конечная последовательность цифр, которая дает коэффициенты при убывающих степенях .

Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первая форма, которая не может быть представлена ​​пределом, называется . является наименьшим решением для , и следующие решения дают еще большие порядковые номера, и их можно отслеживать, пока не будет достигнуто предельное значение , которое является первым решением для . Это означает, что для того, чтобы иметь возможность определять все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать единственное наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его более крупного преемника. Но, как заметил Кантор, даже это позволяет достичь только самого низкого класса трансфинитных чисел: тех, чей размер множеств соответствует количественному числу .

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Порядковое число (ординал)
• кардинальное число ( кардинал )
• Абсолютно бесконечно
• Актуальная бесконечность
• Число Алеф
• Число Бет
• количественное числительное
• Числа Эпсилона ( математика )
• Бесконечность плюс один
• Бесконечно малый
• Порядковый номер
• Бесконечнозначная логика

Исследование, описанное в статье про трансфинитное число, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое трансфинитное число, трансфинит и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.