Континуум в теории множеств кратко

Континуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Функция, переменная или система являются непрерывными, а не дискретными , если между любыми двумя точками имеется бесконечное количество точек и если, кроме того, они обладают свойством полноты; то есть, если расстояние между двумя точками измеряется d, для каждого числа от 0 до d мы можем найти точку, расстояние от которой до первой измеряет именно это число. Это относится, например, к действительным числам , а также к пространству-времени согласно теории относительности .

линейный континуум

Согласно Раймонду Уайлдеру (1965), есть четыре аксиомы, которые превращают множество C и отношение <в линейный континуум :

• C будет просто упорядоченный по отношению к <.
• Если [ A, B ] является разрезом C , то либо A имеет последний элемент, либо B имеет первый элемент. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . (сравните вырезку Дедекинда )
• Существует непустое счетное подмножество S в C такое, что если x, y ∈ C такие, что x < y , то существует z ∈ S такое, что x < z < y . ( аксиома отделимости )
• В C нет ни первого, ни последнего элемента. ( Аксиома неограниченности )

Эти аксиомы характеризуют тип порядка в реальной числовой прямой .

Свойства

• Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счетного множества . Любое континуальное множество содержит счетное подмножество.
• Континуум — мощность булеана счетного множества.
• Континуум не меньше, чем мощность множества всех счетных ординалов . Любое континуальное множество содержит подмножество мощности . Предположение о том, что называется континуум-гипотезой.
• Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
• При разбиении континуального множества на конечное или счетное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, конфинальность континуума — несчетна.

Примеры Множества с мощностью континуума

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

• Все точки отрезка .
• Все точки плоскости (или ), например — множество всех комплексных чисел.
• Множество всех иррациональных чисел.
• Множество всех трансцендентных чисел.
• Множество всех подмножеств счетного множества.
• Множество всех частичных порядков на счетном множестве.
• Множество всех счетных множеств натуральных чисел.
• Множество всех счетных множеств вещественных чисел.
• Множество всех непрерывных функций .
• Множество всех открытых подмножеств плоскости (или ).
• Множество всех замкнутых подмножеств плоскости (или ).
• Множество всех борелевских подмножеств плоскости (или ).
• Канторово множество

Континуум гипотеза

Знаменитая гипотеза континуума утверждает, что также является вторым числом алеф ,. Другими словами, гипотеза континуума утверждает, что не существует множества мощность которого лежит строго между и

Теперь известно, что это утверждение не зависит от аксиом теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). То есть и гипотеза, и ее отрицание согласуются с этими аксиомами. Фактически, для любого ненулевого натурального числа n равенство знак равно не зависит от ZFC (случай гипотеза континуума). То же самое верно и для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство может быть исключено теоремой Кенига на основании конфинальности (например, ). В частности, может быть либо или же , где - это первый несчетный ординал , поэтому он может быть либо последующим кардиналом, либо предельным кардиналом , и либо обычным кардиналом, либо единственным кардиналом .

Континуум в топологии

В топологии , континуум является связным и компактным топологическим пространством . Континуумы ​​родились как попытка охарактеризовать непрерывные функции как те, которые превращают континуумы ​​в континуумы. Идея не прижилась, но этот термин продолжал использоваться, так как во многих областях математики , компактные и связные наборы используются . Некоторые авторы также требуют выполнения свойства Хаусдорфа .

С топологической точки зрения, в физике мы говорим о непрерывности, имея в виду связное подмножество евклидова пространства .

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• континуум , континуальность ,
• Универсум
• Непрерывность ( математика )
• кардинальное число
• конечное множество
• счетное множество
• множество
• Алеф ноль
• Проблема суслина
• Трансфинитное число