Универсум - понятие в философии, логике, математики и физике

Примеры

• Универсум модели теории множеств - все это множества и классы
• Универсум ( носитель , основа ) заданной математической структуры
• Универсум в теории моделей
• Универсум Herbrand
• Универсум языка

В математике , и в частности , в теории множеств , теории категорий , теории типов , а также основ математики , Универсум представляет собой набор , который содержит все объекты одного желания рассмотреть в данной ситуации.

В теории множеств универсумы часто представляют собой классы , содержащие (в качестве элементов ) все множества, для которых предполагается доказать определенную теорему . Эти классы могут служить внутренними моделями для различных аксиоматических систем, таких как ZFC или теория множеств Морса – Келли . универсумы имеют решающее значение для формализации концепций теории категорий внутри теоретико-множественных основ. Например, каноническим мотивирующим примером категории является Множество , категория всех множеств, который не может быть формализован в теории множеств без некоторого понятия универсумом.

В теории типов универсум - это тип, элементами которого являются типы

В определенном контексте Область дискурса

Возможно, самая простая версия состоит в том, что любой набор может быть универсумом, пока объект исследования ограничен этим конкретным набором. Если объектом исследования являются действительные числа , то действительная линия R , которая представляет собой набор действительных чисел, могла бы быть рассматриваемой универсумом. Неявно, это та универсум, которую Георг Кантор использовал, когда впервые разработал современную наивную теорию множеств и мощность в 1870-х и 1880-х годах в приложениях к реальному анализу . Только наборы, Кантор был изначально заинтересован в были подмножества из R .

Эта концепция универсумом отражена в использовании диаграмм Венна . На диаграмме Венна, действие традиционно происходит внутри большого прямоугольника , который представляет универсум U . Обычно говорят, что множества представлены кружками; но эти наборы могут быть только подмножества U . Дополнение из множества А затем даются той частью прямоугольника снаружи A» окружности с. Строго говоря, это относительное дополнение U \ A к A относительно U ; но в контексте, где U - универсум, его можно рассматривать какАбсолютное дополнение ^C из A . Кроме того , существует понятие нульарного пересечения , то есть пересечение из нулевых множеств (то есть не наборы, а не нулевые множества ).

Без универсумом нулевое пересечение было бы набором абсолютно всего, что обычно считается невозможным; но со универсумом в виде, нульарное пересечение можно рассматривать как совокупность всего рассматриваемого, что просто U . Эти соглашения весьма полезны в алгебраическом подходе к теории базовых множеств, основанном на булевых решетках . За исключением некоторых нестандартных форм аксиоматической теории множеств (таких как New Foundations ), класс всех множеств не является булевой решеткой (это только относительно дополненная решетка ).

В отличие от этого , класс всех подмножеств множества U , называется силовой агрегат из U , является булевой решеткой. Абсолютное дополнение, описанное выше, - это операция дополнения в булевой решетке; и U , как нульарное пересечение, служит в качестве верхнего элемента (или нульарными встречается ) в булевой решетке. Затем применяются законы Де Моргана , которые касаются дополнений встреч и объединений (которые являются союзами в теории множеств), и применяются даже к нулевым встречам и нулевым объединениям (которые являются пустым множеством ).

В обычной математике

Однако, как только подмножества данного множества X (в случае канторовской, Х = R ), рассматриваются, универсумом , возможно , должны быть множество подмножеств X . (Например, топология на X представляет собой набор подмножеств X .) Различные наборы подмножеств X сами по себе не будет подмножество X , но вместо этого будет подмножество P X , на множестве мощности от X . Это может быть продолжено; затем объект исследования может состоять из таких наборов подмножеств X и так далее, и в этом случае универсум будет P ( PХ ). В другом направлении, то бинарные отношения на X (подмножества декартова произведения X × X ) могут быть рассмотрены, или функции от X к себе, требуя универсумы как P ( X × X ) или Х ^Х .

Таким образом, даже если основной интерес Х , универсумом , возможно , потребуется , чтобы быть значительно больше , чем X . Следуя приведенным выше идеям, можно захотеть надстройку над X как универсумом. Это можно определить с помощью структурной рекурсии следующим образом:

• Пусть S ₀ X - это сам X.
• Пусть S ₁ X является объединением по X и P X .
• Пусть S ₂ X - объединение S ₁ X и P ( S ₁ X ).
• В общем, пусть S _{n +1} X - объединение S _n X и P ( S _n X ).

Тогда надстройка над X , обозначенная как S X , представляет собой объединение S ₀ X , S ₁ X , S ₂ X и так далее; или же

Независимо от того , какого набора X является отправной точкой, то пустое множество {} будет принадлежать S _- X . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пустое множество - это ординал фон Неймана . Тогда { }, набор, единственным элементом которого является пустой набор, будет принадлежать S ₂ X ; это порядковый номер фон Неймана . Аналогично, { } будет принадлежать S ₃ X , а значит, и { , }, как объединение { } и { }; это ординал фон Неймана . Продолжая этот процесс, каждое натуральное число представлено в надстройке своим порядковым номером фон Неймана. Далее, если x и yпринадлежат надстройке, то же самое относится и к {{ x }, { x , y }}, которая представляет упорядоченную пару ( x , y ). Таким образом, надстройка будет содержать различные желаемые декартовы произведения. Тогда надстройка также содержит функции и отношения , поскольку они могут быть представлены как подмножества декартовых произведений. Процесс также дает упорядоченные n -элементы, представленные в виде функций, область определения которых является порядковым номером фон Неймана [ n ], и так далее.

Итак, если отправной точкой является просто X = {}, большая часть наборов, необходимых для математики, появляется как элементы надстройки над {}. Но каждый из элементов S {} будет конечным множеством . Каждый из натуральных чисел принадлежит к нему, но множество Н из всех натуральных чисел не дает (хотя это подмножество из S {}). Фактически, надстройка над {} состоит из всех наследственно конечных множеств . Таким образом, его можно рассматривать как универсум финитистской математики . Выражаясь анахронизмом, можно предположить, что финитист XIX века Леопольд Кронекерработал в этой универсумом; он считал, что каждое натуральное число существует, а множество N (« завершенная бесконечность ») - нет.

Однако S {} неудовлетворительно для обычных математиков (которые не являются финитистами), потому что даже несмотря на то, что N может быть доступно как подмножество S {}, все же набор степеней N - нет. В частности, недоступны произвольные наборы действительных чисел. Таким образом, может возникнуть необходимость начать процесс заново и сформировать S ( S {}). Однако, чтобы не усложнять, можно взять множество N натуральных чисел как данность и образуют SN , надстройку над N . Это часто считают универсумом обычной математики.. Идея состоит в том, что вся математика, которая обычно изучается, относится к элементам этой универсумом. Например, любое из обычных построений действительных чисел (скажем, сечения Дедекинда ) принадлежит SN . Даже нестандартный анализ может быть выполнен в надстройке над нестандартной моделью натуральных чисел.

Есть небольшой сдвиг в философии по сравнению с предыдущим разделом, где универсум представляла собой любой интересующий набор U. Там изучаемые множества были подмножествами универсумом; теперь они члены универсумом. Таким образом, хотя P ( S X ) является булевой решеткой, важно то, что сам S X не является таковой. Следовательно, редко применяют понятия булевых решеток и диаграмм Венна непосредственно к универсумом надстройки, как они были к универсумом с множеством степеней из предыдущего раздела. Вместо этого можно работать с отдельными булевыми решетками P A , где A - любое релевантное множество, принадлежащееS X ; тогда P A является подмножеством S X (и фактически принадлежит S X ). В частности, в случае Кантора X = R произвольные наборы действительных чисел недоступны, поэтому там действительно может возникнуть необходимость начать процесс заново.

В теории множеств

Можно придать точный смысл утверждению, что SN - это универсум обычной математики; это модель из теории множеств Цермели , то аксиома теория множеств , первоначально разработанная Цермели в 1908. Цермела теорию множеств была успешной именно потому , что она была способна axiomatising «обычной» математика, выполняя программу , начатую Кантора более 30 лет назад. Но теории множеств Цермело оказалось недостаточно для дальнейшего развития аксиоматической теории множеств и других работ по основам математики , особенно теории моделей .

В качестве яркого примера приведенное выше описание процесса надстройки само по себе не может быть выполнено в теории множеств Цермело. Последний шаг, формирование S как бесконечного объединения, требует аксиомы замены , которая была добавлена ​​в теорию множеств Цермело в 1922 году для формирования теории множеств Цермело – Френкеля , набора аксиом, наиболее широко распространенного сегодня. Таким образом , в то время как обычные математики может быть сделано в SN , обсуждение из SN выходит за рамки «обычных», в метаматематике .

Но если ввести мощную теорию множеств, описанный выше процесс надстройки окажется всего лишь началом трансфинитной рекурсии . Вернемся к X = {}, пустому набору, и введем (стандартное) обозначение V _i для S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {} и так далее, как раньше. Но то, что раньше называлось «надстройкой», теперь просто следующий элемент в списке: V _ω , где ω - первое бесконечное порядковое число . Это может быть расширено до произвольных порядковых чисел :

определяет V _i для любого порядкового номера i . Объединение всех V _i - это универсум фон Неймана V :

.

Каждый индивидуальный V _i является набором, но их объединение V является собственным классом . Аксиома фундамента , который был добавлен к ZF теории множеств примерно в то же время , как аксиома замены, говорит , что каждый набор принадлежит V .

Курт Гедель «s конструктивны универсумом L и аксиома конструктивности

Недоступные кардиналы дают модели ZF, а иногда и дополнительные аксиомы, и эквивалентны существованию множества универсумом Гротендика.

В исчислении предикатов

В интерпретации из логики первого порядка , универсумом (или область дискурса) является совокупность лиц (индивидуальные константы) , над которым квантификаторы диапазон. Утверждение, такое как ∀ x ( x ² ≠ 2), является неоднозначным, если не была идентифицирована область дискурса. В одной интерпретации областью дискурса может быть набор действительных чисел ; в другой интерпретации это может быть набор натуральных чисел . Если предметом обсуждения является множество действительных чисел, предложение неверно, с x = √ 2как контрпример; если область значений - это множество натуральных чисел, утверждение верно, поскольку 2 не является квадратом любого натурального числа.

В теории категорий универсум Гротендика

Есть и другой подход к универсумом, исторически связанный с теорией категорий . Это идея универсумом Гротендика . Грубо говоря, универсум Гротендика - это множество, внутри которого могут выполняться все обычные операции теории множеств. Эта версия универсумом определяется как любое множество, для которого выполняются следующие аксиомы:

1. подразумевает
2. и следует { u , v }, ( u , v ) и.
3. подразумевает и
4. (Вот - это множество всех конечных ординалов .)
5. если является сюръективной функцией с и , тогда .

Преимущество универсумом Гротендика в том, что на самом деле это набор , а не настоящий класс. Недостаток в том, что если очень постараться, можно покинуть универсум Гротендика.

Наиболее распространенное использование Гротендик универсум U должен взять U в качестве замены для категории всех множеств. Один говорит , что множество S является U - маленький , если S ∈ U и U - большой иначе. Категория U - множество всех U -малых множеств имеет в качестве объектов все U-малые множества и как морфизмы все функции между этими множествами. И набор объектов, и набор морфизма являются наборами, поэтому становится возможным обсудить категорию «все» наборы без вызова соответствующих классов. Затем становится возможным определять другие категории в рамках этой новой категории. Например, категория всех U -Малого категорий является категорией всех категорий, объект набор и у которых морфизм множество в U . Тогда обычные аргументы теории множеств применимы к категории всех категорий, и не нужно беспокоиться о том, что случайно можно будет говорить о правильных классах. Поскольку универсумы Гротендика чрезвычайно велики, этого достаточно почти для всех приложений.

Часто при работе с универсумоми Гротендика математики принимают Аксиому универсумов : «Для любого множества x существует универсум U такая, что x ∈ U ». Суть этой аксиомы состоит в том, что любое встречающееся множество является U -малым для некоторого U , поэтому можно применить любой аргумент, сделанный в общей универсумом Гротендика. Эта аксиома тесно связана с существованием сильно недоступных кардиналов .

В теории типов

В некоторых теориях типов, особенно в системах с зависимыми типами , сами типы могут рассматриваться как термины . Существует тип, называемый универсумом (часто обозначаемый ), элементы которого являются типами. Чтобы избежать парадоксов, таких как парадокс Жирара (аналог парадокса Рассела для теории типов), теории типов часто снабжены счетно бесконечной иерархией таких универсумов, причем каждая универсум является термином для следующей.

Существует по крайней мере два типа универсумов, которые можно рассматривать в теории типов: универсумы в стиле Рассела (названные в честь Бертрана Рассела ) и универсумы в стиле Тарского (названные в честь Альфреда Тарского ). универсум в стиле Рассела - это тип, членами которого являются типы. универсум в стиле Тарского - это тип вместе с операцией интерпретации, позволяющей нам рассматривать его термины как типы.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Область дискурса
• Универсум Гротендика
• Универсум Herbrand
• Свободный объект
• Открытая формула
• Континуум