Симметричное отношение в математике кратко

Лекция

Привет, Вы узнаете о том , что такое симметричное отношение, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое симметричное отношение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

симметричное отношение — это тип бинарного отношения . Формально, бинарное отношение R над множеством X является симметричным, если: [ 1 ]

\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),

где обозначение aRb означает, что ( a , b ) ∈ R.

Примером может служить отношение «равно», потому что если a = b истинно, то b = a также истинно. Если R ^T представляет собой обратное отношение к R , то R симметрично тогда и только тогда, ^когда R = R ^T.^[² ]

Симметрия, наряду с рефлексивностью и транзитивностью , являются тремя определяющими свойствами отношения эквивалентности . [ 1 ]

Примеры

В математике

"равно" ( равенство ) (в то время как "меньше" не является симметричным)
" сравнимо с" для элементов частично упорядоченного множества
"... и ... являются нечетными":

Вне математики

"состоит в браке с" (в большинстве правовых систем)
является родным братом/сестрой
"является омофоном слова"
«является коллегой»
«является товарищем по команде»

Связь с асимметричными и антисимметричными отношениями

По определению, непустое отношение не может быть одновременно симметричным и асимметричным (где, если a связано с b , то b не может быть связано с a (аналогичным образом)). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Однако отношение не может быть ни симметричным, ни асимметричным, что имеет место в случаях «меньше или равно» и «охотится на»).

Симметричные и антисимметричные (где единственный способ связать a с b и b с a — это если a = b ) на самом деле независимы друг от друга, как показывают эти примеры.

Математические примеры
	Симметричный	Несимметричный
Антисимметричный	равенство	делит , меньше или равно
Не антисимметричный	конгруэнтность в модульной арифметике	// (целочисленное деление), большинство нетривиальных перестановок

Примеры, не связанные с математикой.
	Симметричный	Несимметричный
Антисимметричный	является тем же человеком, что и я, и состоит в браке.	является множественным числом
Не антисимметричный	является родным биологическим братом	охотится на

Характеристики

Симметричное и транзитивное отношение всегда является квазирефлексивным . ^{[ а ]}
Один из способов подсчитать симметричные отношения на n элементах заключается в том, что в их бинарном матричном представлении верхний правый треугольник полностью определяет отношение, и он может быть произвольным заданным, таким образом, существует столько симметричных отношений, сколько бинарных матриц верхнего треугольника n × n , 2 ^{n ( n +1)/2} . ^{[ 3 ]}

Количество n -элементных бинарных отношений различных типов
Элементы	Любой	Транзитивный	Рефлексивный	Симметричный	Предварительный заказ	Частичный порядок	Общий объем предзаказов	Полный заказ	Отношение эквивалентности
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4096	1024	355	219	75	24	15
н	2 ^{н ²}		2 ^{n ( n −1)}	2 ^{n ( n +1)/2}			∑n k =0 k ! S ( n , k )	н !	∑n k =0 S ( n , k )
ОЭСР	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Обратите внимание, что S ( n , k ) обозначает числа Стирлинга второго рода .

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Коммутативное свойство – свойство некоторых математических операций.
Симметрия в математике
Симметрия – математическая инвариантность относительно преобразований

Исследование, описанное в статье про симметричное отношение, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое симметричное отношение и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про симметричное отношение

Симметричное отношение в математике кратко

Примеры

В математике

Вне математики

Связь с асимметричными и антисимметричными отношениями

Характеристики

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Комментарии

Оставить комментарий

Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Термины: Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.