Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое категория отношений, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое категория отношений , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..
В математике категория Rel включает класс множеств в качестве объектов и бинарные отношения в качестве морфизмов .
Морфизм (или стрелка) R : A → B в этой категории — это отношение между множествами A и B , поэтому R ⊆ A × B.
Композиция двух соотношений R : A → B и S : B → C задается следующим образом:
Rel также называют «категорией соответствий множеств». [ 2 ]
Категория Rel имеет категорию множеств Set в качестве (широкой) подкатегории , где стрелка f : X → Y в Set соответствует отношению F ⊆ X × Y, определяемому как ( x , y ) ∈ F ⇔ f ( x ) = y .
Морфизм в Rel — это отношение, а соответствующий морфизм в противоположной категории по отношению к Rel имеет стрелки, направленные в обратную сторону, поэтому он является обратным отношением . Таким образом, Rel содержит свою противоположность и является самодуальным . [ 4 ]
Инволюция , представленная взятием обратного отношения, дает кинжал , позволяющий сделать Rel категорией кинжала .
Категория имеет два функтора в себя, заданных функтором hom : бинарное отношение R ⊆ A × B и его транспонированное отношение R T ⊆ B × A могут быть скомпонованы либо как RR T , либо как R T R. Первая композиция приводит к однородному отношению на A , а вторая — на B. Поскольку образы этих функторов hom находятся в самой категории Rel , в этом случае hom является внутренним функтором hom . С помощью своего внутреннего функтора hom категория Rel является замкнутой категорией , а также компактной категорией типа «кинжал» .
Категория Rel может быть получена из категории Set как категория Клейсли для монады , функтор которой соответствует множеству степеней , интерпретируемому как ковариантный функтор.
Возможно, на первый взгляд несколько удивительно то, что произведение в Rel задается дизъюнктным объединением [ 4 ] : 181 (а не декартовым произведением, как в Set ), и то же самое относится к копроизведению .
Категория Rel является моноидально замкнутой , если определить как моноидальное произведение A ⊗ B , так и внутренний гомо A ⇒ B посредством декартова произведения множеств. Она также является моноидальной категорией , если определить моноидальное произведение посредством дизъюнктного объединения множеств. [ 5 ]
Категория Rel послужила прототипом алгебраической структуры, названной аллегорией Питером Дж. Фрейдом и Андре Сцедровым в 1990 году. [ 6 ] Начиная с регулярной категории и функтора F : A → B , они отмечают свойства индуцированного функтора Rel( A,B ) → Rel( FA, FB ). Например, он сохраняет композицию, преобразование и пересечение. Такие свойства затем используются для предоставления аксиом для аллегории.
Дэвид Райдехард и Род Берстолл считают, что в категории Rel есть объекты, являющиеся однородными отношениями. Например, A — это множество, а R ⊆ A × A — бинарное отношение на A. Морфизмами этой категории являются функции между множествами, сохраняющие отношение: допустим, S ⊆ B × B — второе отношение, а f : A → B — функция такая, что
тогда f является морфизмом. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . [ 7 ]
Та же идея выдвинута Адамеком, Херрлихом и Штрекером, которые обозначают объекты ( A, R ) и ( B, S ) как множество и как отношение. [ 8 ]
Исследование, описанное в статье про категория отношений, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое категория отношений и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про категория отношений
Комментарии
Оставить комментарий
Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.
Термины: Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.