Множество в математике, понятие, виды, история и способы задания отношений множеств

Привет, сегодня поговорим про множество, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое множество, способы задания отношений множеств , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

множество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств , компьютернных науках и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющееопределения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое . Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счетным или несчетным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Множество в компьютерных науках. Множество — тип и структура данных в информатике, которая является реализацией математического объекта множество.

Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений определенного типа без определенного порядка. Повторение значений, как правило, недопустимо. За исключением того, что множество в программировании конечно, оно в общем соответствует концепции математического множества. Для этого типа в языках программирования обычно предусмотрены стандартные операции над множествами.

В зависимости от идеологии, разные языки программирования рассматривают множество как простой или сложный тип данных.

История понятия

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из ее принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввел основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством , обозначил . Если некоторое множество , то назвал характеристическим свойством множества .

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств былааксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они все еще известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если — элемент множества , то записывают (« принадлежит »). Если не является элементом множества , то записывают (« не принадлежит »). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

.

Некоторые виды множеств и сходных объектов, классификация множеств

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».
• Частично упорядоченное множество, вполне упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Сходные объекты

• Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
• Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• Нечеткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задается не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечеткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии

• Множество множеств (в частности, булеан — множество всех подмножеств данного множества).
• Подмножество
• Надмножество

Отношения между множествами

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространенными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.

Понятие отношения как подмножества декартова произведения формализовано в теории множеств и получило широкое распространение в языке математики во всех ее ветвях. Теоретико-множественный взгляд на отношение характеризует его с точки зрения объема — какими комбинациями элементов оно наполнено; содержательный подход рассматривается в математической логике, где отношение — пропозициональная функция, то есть выражение с неопределенными переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным. Важную роль отношения играют в универсальной алгебре, где базовый объект изучения раздела — множество с произвольным набором операций и отношений. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Одно из самых ярких применений техники математических отношений в приложениях — реляционные системы управления базами данных, методологически основанные на формальной алгебре отношений.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам, таким как симметричность, транзитивность, рефлексивность.

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

• включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :

  

• включает , если включено в :

  

• равно , если и включены друг в друга:

  

• строго включено в , если включено в , но не равно ему:

  

• строго включает , если строго включено в :

  

• и не пересекаются, если у них нет общих элементов:

  и не пересекаются

• и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

  и находятся в общем положении

Свойства отношений

способы задания отношений множеств

2) Графический метод задания отношений множеств

a= {(a, d), (a, c), (b, b), (c, a), (e,d), (e, a)}

3)Графовое представление отношений множеств

Операции над множествами

Бинарные операции

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

• пересечение:

  .

• объединение:

  .

Если множества и не пересекаются, то . Их объединение обозначают также: .

• разность:

  .

• симметрическая разность:

  .

• декартово или прямое произведение:

  .

Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решетку.

Унарные операции

Дополнение определяется следующим образом:

.

Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество , которое содержит ), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

.

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введенным таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

.

Обозначение происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

.

Булеан порождает систему множеств с фиксированным универсумом , замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций

Сначала выполняются операции унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Мощность множества

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается или . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если , то ) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: на случай бесконечных множеств (само обозначение мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается , это мощность счетного множества. Мощность континуума, биективного булеану счетного множества обозначается или . Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счетной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

пример множеств чисел

Примечания

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Алгебра множеств
• Альтернативная теория множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Категория наборов
• Класс (теория множеств)
• Плотный набор
• Семейство наборов
• Нечеткое множество
• Внутренний набор
• Математический объект
• Мереология
• Мультимножество
• Наивная теория множеств
• Principia Mathematica
• Грубый набор
• Парадокс Рассела
• Последовательность ( математика )
• Установить обозначение
• Таксономия
• Кортеж
• Диаграмма Венна
• множество как тип данных

Надеюсь, эта статья про множество, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое множество, способы задания отношений множеств и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.