Комбинаторика правило суммы и правило произведения

Привет, сегодня поговорим про комбинаторика правило суммы, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое комбинаторика правило суммы, правило произведения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

• Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

• правило произведения

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

n! = 1 • 2 • 3 • 4 •…• n.

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зеленый, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

6 + 5 + 4 = 15

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 желтые розы?

3 + 2 + 4 = 9

Ответ: 9 вариантов.

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

5 • 3 = 15

Ответ: 15 путей.

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

2 • 4 = 8

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6 • 8 = 48

Ответ: 48 пар.

6. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

4 • 8 = 28

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

3 • 3 = 9

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа 
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

2 • 2 • 2 = 8

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

3 • 4 = 12

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?

Четные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов 
3 цифра – 5 способов

4 • 5 • 5 = 100

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трехзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трехзначных чисел можно составить из трех различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

3 • 2 • 1 = 6

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

5 • 4 • 3 = 60

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

2 • 4 • 3 = 24

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

6 • 5 • 4 = 120

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трех человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

8 • 7 • 6 = 336

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа 
3 урок – 2 способа 
4 урок – 1 способ

4 • 3 • 2 • 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов 
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов 
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

Ответ: 8.000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394 

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

6 • 5 = 30

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких четных чисел?

5 цифра – 2 способа (две четные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

Ответ: 48 четных чисел.

26. Сколько существует четырехзначных чисел, составленных из нечетных цифр и делящихся на 5?

Нечетные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 • 4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – четная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвертая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечетные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4) 
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трехзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырехзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

11 • 10 = 110

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

30 • 29 = 870

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трех человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 • 10 • 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырех букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа 
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

Ответ: 1.081.344 комбинаций.

На этом все! Теперь вы знаете все про комбинаторика правило суммы, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое комбинаторика правило суммы, правило произведения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.