Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое функциональный анализ, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое функциональный анализ , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.
функциональный анализ , часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для функционального анализа характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удается выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удается глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.
Развитие функционального анализа происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык функционального анализа наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы функционального анализа
Начало XX века было великой эпохой в истории математики. Многие из современных направлений математики родились или оформились именно в это время.
Одним из важнейших событий развития математики, происходившего в период от начала века до первой мировой войны, было рождение функционального анализа, в котором соединились многие концепции классического анализа, линейной алгебры и геометрии.
Параллельно возникли и интенсивно развивались разделы математики, сыгравшие важную в становлении функционального анализа: топология, теория меры и интеграла Лебега.
Функциональный анализ – это разновидность анализа, предполагающая рассмотрение объекта как комплекса выполняемых им функций, а не как материально-вещественных структур. Например, электрическая лампа накаливания рассматривается как носитель функции "излучать свет", а не только как совокупность конструктивных элементов (колба, цоколь, нить накаливания и др.).
Функциональный анализ исходит из предпосылки, что в анализируемом объекте полезным функциям всегда сопутствуют вредные и нейтральные функции. Например, нож мясорубки при работе одновременно выполняет несколько функций: полезную функцию – "измельчать продукт", вредную функцию – "сминать продукт", нейтральную функцию – "нагревать продукт". Следует учитывать, что полезные Функции одного объекта могут быть вредными или нейтральными для другого (и наоборот).
Функциональный анализ позволяет абстрагироваться от конкретного исполнения объекта, и сосредоточить внимание на его функциях. Поиск альтернативных вариантов реализации функций осуществляется с целью снижения затраты и повышения уровня выполнения функции. Функциональный анализ может с одинаковым успехом применяться для совершенствования как технических, так и нетехнических объектов и процессов.
Функциональный анализ — раздел анализа, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства и их отображения. Наиболее важными примерами таких пространств являются пространства функций (отсюда и произошло название «функциональный анализ» ).
В различных источниках в качестве разделов функционального анализа рассматриваются теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.
Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике, теории струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.
Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове «топология». Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико-множественной.
Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с планировкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора – Д.Гильбертом, Г.Вейлем и др.). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т.п. Основы общей топологии в ХХ веке были заложены немецким математиком Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем московской школы П.С.Александровым и другими.
В начале ХХ века Лебег завершил построение теории меры и интегрирования. В XIX веке вслед за Коши и Риманом интеграл понимали как предел римановых сумм. Лебег же предложил другой подход. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Но множества на оси абсцисс, для которых значения функции попадают в некоторый промежуток, у достаточно сложных функций могут быть устроены весьма причудливо, и для построения теории интегрирования необходимо было в первую очередь построить теорию меры, т.е.
научиться «измерять» такие множества. Это было сделано Борелем и Лебегом.
Лебег весьма выразительно описал преимущество своего метода. «В методе Коши, – писал Лебег, – оперируют так, как делает это неопытный клерк, который подсчитывает монеты и кредитные билеты сообразно тому, как они попадаются под руку. Тогда как мы оперируем, как опытный и методичный клерк, говорящий: у меня n1 монет по одному франку, стоящих 1´n1, у меня n2 монет по два франка, стоящих 2´n2, у меня n5 монет по пять франков, стоящих 5´n5 … Итого, у меня 1´n1+ 2´n2 + 5´n5 +... франков. Конечно, и тот и другой клерки придут к одному и тому же результату. Но в случае сумм неделимых, число которых бесконечно, разница двух методов капитальная.» На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций – метрическая теория функций.
В двадцатые годы ведущая роль в теории функций перешла к русской школе, которую представляли Николай Николаевич Лузин и его ученики П.С.Александров, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин и др. Они и заложили основания московской математической школы. Сделав первые шаги в теории функций, ученики Лузина пошли в дальнейшем каждый своим путем. Колмогоров и Хинчин преобразовали теорию вероятностей, Александров и Урысон – топологию, Люстерник и Шнирельман - нелинейный анализ, Новиков внес выдающийся вклад в математическую логику, Лаврентьев сделал крупнейшие открытия в комплексном анализе и механике. Лишь Меньшов и Бари продолжали дело своего учителя. В тридцатые годы ни одна математическая школа мира не располагала таким созвездием выдающихся ученых.
Функциональный анализ возник на рубеже XIX-го и XX-го веков в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятельной дисциплиной.
Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теорией систем линейных уравнений конечного числа переменных и их бесконечномерных аналогов – линейных интегральных уравнений.
Решающий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году. Интегральное уравнение Фредгольм заменил системой линейных уравнений, рассмотрев вместо интеграла интегральные суммы.
Методы решения систем линейных уравнений были разработаны еще в XVIII веке. Применив эти методы и переход к пределу, Фредгольм нашел условия разрешимости и алгоритмы нахождения решений уравнений. Это послужило стимулом к разработке теории, сочетавшей в себе элементы алгебры и геометрии, но в бесконечномерных пространствах.
Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа.
Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа и смежных областей алгебры и геометрии (таких как функциональная зависимость, предельный переход, близость, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях) переносятся на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет с единой точки зрения подходить к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных математических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и, тем самым, способствовать открытию новых математических фактов (достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных методами функционального анализа).
Характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Такое рассмотрение потребовало обобщение геометрических понятий – бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело, в конце концов, к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривающиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.
Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин.
функционального анализа как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий функционального анализа сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и функционального анализа оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции — откуда и название «функционального анализа»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2 и L2(a, b) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp (a, b), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по функционального анализа появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям функционального анализа к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углубленному изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внес польский математик Стефан Банах.
Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определенных классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счетным набором значений (набором коэффициентов).
Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов:
Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа. Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин.Костюченко А. Г., предисловие редактора перевода к книге 1962 года
В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвященная вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.
Для современного этапа развития функционального анализа характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «оператор» и «функционал».
Наиболее общими пространствами, фигурирующими в функционального анализа, являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел 
(или действительных чисел 
), которые одновременно и топологические, причем линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x|| такое, что всегда ||x|| ³ 0 и ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x||, l Î 
x, если ||xn — x|| 
0.
В большом числе задач возникает еще более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x, у Î Х называется комплексное число (x, у) такое, что всегда (x, x) ³ 0 и (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
, l, m Î 
является нормой элемента x. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций функционального анализа важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что 
для xm, xn Î X, следует существование предела 
, также являющегося элементом Х). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства. Однако в функционального анализа играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в 
, норма ||x|| = 
; банахово пространство Lp (T) всех суммируемых с р-й (p ³ 1) степенью функций на Т, норма 
; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что 
, здесь 
(множеству целых чисел), норма ||x|| =(å
|xj|p)1/p; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T) гильбертовы, при этом, например, в L2(T) скалярное произведение 
; линейное топологическое пространство D (
), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на 
, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а, b)]; при этом xn 
x, если xn (t) равномерно финитны [т. е. (а, b) не зависит от n] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2: векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x, у Î Н называются ортогональными (x ^ y), если (x, у) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н, т. е. такой вектор xF, что x—xF^f для любого f Î F. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej, j Î 
, из Н таких, что ||ej|| = 1, ej ^ ek при j ¹ k, и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение
x = å
xjej (1)
где xj = (x, ej), ||x|| = å
|xj|2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нем существует счетное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2(0, 2p) и положить 
, j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t) Î L2(0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ' {xj}, j Î 
гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задается квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x, x) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x, для которых (x, x) = 0; тензорное произведение 
— образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1) к функциям многих переменных f (x1,..., xq); проективный предел 
банаховых пространств — здесь 
(грубо говоря), если 
для каждого a; индуктивный предел 
банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь 
, если все xj, начиная с некоторого j0, лежат в одном Xj0, и в нем 
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Нa, обладающих тем свойством, что для каждого a найдется b такое, что hb Ì Нa, и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (
) — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 
0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С (Т), в нем считается x 
0, если x (t ³)0 для всех t ÎT.
Пусть X, Y — линейные пространства; отображение A: X ® Y называется линейным, если для x, у Î X, l, m Î 
,
где x1,..., xn и (Ax)1,..., (Ax) n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а, b) в него же оператор
(2)
(где K (t, s) — ограниченная функция — ядро А) — непрерывен, в то время как определенный на подпространстве C1(a, b) Ì L2(a, b) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всем пространстве).
Непрерывный оператор A: X ® Y, где X, Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов 
(X, Y) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A||. Свойства 
, если 
для каждого x Î X], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x|| £ r, уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X', например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).
Важной задачей функционального анализа является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удается сделать, например (lp)¢, p > 1, состоит из функций вида å
xjej, где 
, 
. Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t0 и m на пространстве D (
) определен функционал 
. В случае m = 0 его еще можно записать «классическим» образом — при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D (
))¢ называются обобщенными функциями (распределениями). Обобщенные функции как элементы сопряженного пространства можно строить и тогда, когда D (
) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф' É Н É Ф, где Н — исходное гильбертово пространство, а Ф — линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф = Wl2(T).
Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, b] из пространства C1[a, b], снабженного нормой 
, 
Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряженных, и эрмитовых операторов.
Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y, где С — некоторый оператор, у Î Y — заданный, а x Î Х — искомый векторы. Например, если Х = Y = L2 (а, b), С = Е — А, где А — оператор из (2), а Е — тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С — дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x — Ax = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения: для некоторого оператора А: Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора) уравнения Аj = lj при некотором l Î 
ljxjej, (4)
где lj, — собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединенные векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А.
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t, s) = K (s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]
(Tx)(t) = tx (t) (5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х — банахово пространство, А Î 
— многочлен, то f (A) = 
(степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f (z) — аналитическая функция, то так прямо понимать f (A) уже не всегда возможно; в этом случае f (A) определяется следующей формулой, если f (z) аналитична в окрестности SpA, а Г — контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z):
. (6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z) ® f (A) — гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединенных векторов для общих операторов, однако для самосопряженных операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н — гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н ® Н называется самосопряженным, если (Ax, у) = (x, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n-мерно, то в нем существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряженного оператора А; другими словами, имеют место разложения:
, 
, (7)
где P (lj) — оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А, отвечающие одному и тому же собственному значению lj.
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряженный оператор из Н, только сами проекторы P (lj) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна 
], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А. Если привлечь обобщенные функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф' É Н É Ф, где Ф, например, ядерно, причем А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщенном смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряженными). Например, они верны для унитарных операторов U — таких ограниченных операторов, которые отображают все Н на все Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU расположен на окружности |z| = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря! Спектральный анализ линейных операторов.
Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции . В конечном счете оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто — в исходное). Одной из центральных задач нелинейного функционального анализа является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в 
) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного функционального анализа является задача отыскания неподвижных точек отображения ( точка x называется неподвижной для отображения F, если Fx = x). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного функционального анализа явление — т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы функционального анализа развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
На ранних этапах развития функционального анализа изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название — банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причем ||xy|| £ ||x|| ||y||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х ( умножение в нем — последовательное применение операторов — необходимо с учетом порядка), различного рода функциональные пространства, например C (T) с обычным умножением, L1(
) со сверткой в качестве произведения, и широкое обобщение их — класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определенных на G со сверткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.
Пусть 
— коммутативная (т. е. xy = ух для любых x, у Î 
на М, причем сумме x + y и произведению xy соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм 
борелевских подмножеств G, инвариантная справа: для любых В Î 
, где c(h) — характер группы G: непрерывная функция на G такая, что |c(h)| = 1 и c(h1h2) = c(h1)c(h2), dc — мера Хаара на группе характеров 
, а
,
— обобщенное преобразование Фурье функций f (g) и k (g), которое продолжается до изоморфизма L2(G, dg) в L2(
, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удается хорошо описать; в этом случае L2(G, dg) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L2(G, dg) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G = 
, то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряженных операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Тl, l Î 
в гильбертовом пространстве Н допускает представление Тl = exp ilA, где А — самосопряженный оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т'l}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви функционального анализа — эргодической теории. Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения : операторы Tl не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определенными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел функционального анализа имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:
Исследование, описанное в статье про функциональный анализ, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое функциональный анализ и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ
Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.
Комментарии
Оставить комментарий
Функциональный анализ
Термины: Функциональный анализ