Пространство в функциональном анализе кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое Пространство в функциональном анализе, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое Пространство в функциональном анализе , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Пространство

Метрическое пространство.

Пусть есть некое множество элементов Ω. К каждой паре (x,y) подставим  и назовем расстояние между x и y.

1.  и , если x=y

2.  = 

3. ≤ + 

x,y  =│x-y│

x,y  x=(,,,…,) y=(,,…)

- Евклидова метрика

При k = |=

Любое метрическое пространство можем обозначить (Ω,).

Открытым шаром с центром в точке a радиуса r: <r

 ≤r – закрытый шар.

 – сфера радиуса с окрестностью в точке а.

Окрестностью точки, а называется множество, в котором можно поместить шар. Содержится подмножество: 
с

Можно ввести понятие предела . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть задана последовательность  и будем говорить, что =a  при k

  

Топологическое пространство («топос» местность).

Пусть Ω - множество элементов, а топологией назовем систему подмножеств(∑), которая удовлетворяет следующим условиям:

1.  

2. ,

3. ,

Если  - подмножество, то  называется более тонкой топологией, а  более грубой. Множества принадлежащие  называются открытыми.

Окрестностью точки x будет любое множество, что  и x.

x

U(x) любое  и x

Пример1: Пусть задано множество Ω. Рассмотрим топологию ∑={Ω,}.

Окрестностью является все множество Ω. Пример 1 – самая грубая топология.

Самая тонкая топология – это пространство дискретных точек.∑ - множество всех подмножеств Ω.

Пример 2: Ω={a,b}

∑= {, {a, b}, {b}-открытое множество}

{a} – замкнутое множество

Если задано метрическое пространство, то из него можно построить топологию.

∑={0,Ω,

Линейное пространство.

Пусть некое множество E называется линейным (или векторным) пространством, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:

1.  z=x+y

1. Коммутативность: x+y=y+x

2. Ассоциативность: (x+y)+z=x+(y+z)

3. : x+0=x

4.  ”: x+(-x)=0

1.  

 

Нормированные пространства.

Получается из линейного введением норм.

Пространство  называется нормированным пространством, если

 задана -норма , которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1)  и  (невырожденность)

2)  (однородность)

3) (Неравенство треугольника)

  



Норму можно трактовать как длину элемента.

Пример: Введем  



 

Пространство последовательности

: 



: 



: 

 – пространство непрерывных на  функций.

 

Исследование, описанное в статье про Пространство в функциональном анализе, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое Пространство в функциональном анализе и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про