Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Определение 15. Пусть Х – метрическое пространство Множество А Ì Х называется нигде не плотным, если его замыкание `А не имеет внутренних точек. Последнее эквивалентно тому, что в любом шаре найдется шар, не содержащий точек из `А.

Действительно, возьмем любой шар S. Он не может лежать полностью в множестве `А, т.к. в этом случае все его внутренние точки окажутся внутренними для `А. Следовательно, SÇ(X - `А) ¹ Æ. Тогда для любой точки х Î SÇ(X - `А) (множество Х - `А – открыто) найдется шар малого радиуса S1, который полностью лежит в SÇ(X - `А), а следовательно не имеет общих точек с `А. Обратное очевидно.

Определение 16. Счетное объединение нигде не плотных множеств называется множеством первой категории, а множество, не являющееся множеством первой категории, - множеством второй категории.

Теорема 17 (Бэра). Полное метрическое пространство является множеством второй категории, т.е. не может быть объединением счетного множества нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное, что полное метрическое пространство X является счетным объединением нигде не плотных в X множеств X = 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра. Рассмотрим непустое открытое множество X`А1 и некоторую точку x1 из этого множества. Найдется открытый шар S(xl, r1), который содержится в множестве X`А1. Для этого шара справедливы соотношения S(x1, r1/2) Ì S[x1, r1/2] Ì S(x1, r1). Следовательно, S[x1, r1/2] Ç`А1 = Æ.

Возьмем точку х2 из непустого открытого множества S(x1, r1/2)Ç (X`А2) (см. рассуждения после определения 15). Найдется открытый шар S(х2, r2), содержащийся в этом пересечении. Не умаляя общности, можно считать, что r2 £ r1/2, т.е. можно уменьшить радиус шара, не нарушая включения

S(х2, r2) Ì S(x1, r1/2)Ç (X`А2).

Тогда справедливы включения

S(х2, r2/2) Ì S[х2, r2/2] Ì S(х2, r2) Ì S(x1, r1/2)Ì S[x1, r1/2],

причем S[x2, r2/2] Ç`А2 = Æ.

Далее, по индукции, в непустом открытом множестве

S(xn - 1, rn - 1/2)Ç (X`Аn)

найдется открытый шар S(хn, rn), rn £ rn – 1/2, для которого выполняются включения

S(хn, rn/2) Ì S[хn, rn/2] Ì S(хn, rn) Ì S(xn - 1, rn - 1/2)Ì S[xn - 1, rn - 1/2],

причем S[xn, rn/2] Ç`Аn = Æ.

Мы построили последовательность { S[xn, rn/2]} замкнутых вложенных шаров с радиусами rn/2 £ rn – 1/22 £ … £ r1/2n, стремящимися к нулю при n ® ¥, для которых S[xn, rn/2] Ç`Аn = Æ. По критерию полноты метрических пространств существует точка х, принадлежащая всем шарам. Из равен­ства X = 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра следует, что х принадлежит какому-то из множеств, скажем Am.. Мы получили противоречие: x Î S[xm, rm/2] ÇАm, в тоже время по построению шаров S[xm, rm/2] Ç`Аm = Æ и тем более S[xm, rm/2] ÇАm = Æ.

Следствие. Если полное метрическое пространство X является счетным объединением замкнутых множеств, то хотя бы одно из них содержит шар поло­жительного радиуса.

Задачи

1. Пусть M нигде не плотное множество метрического пространства. Каким будет его дополнение?

2. Пусть X – пространство элементов вида 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра, где n – фиксировано, 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра- рациональные числа, с метрикой

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

Будет ли это пространство полным? Что будет являться его пополнением?

3. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В пространстве 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра построить последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств с пустым пересечением.

4. Показать, что пространство 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра непрерывных функций с метрикой

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

неполно ни при каком p.

5. Ввести на прямой 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра метрику по формуле

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным?

6. Доказать, что пространство Сm[a, b] полно при любом m.

7. Является ли полным пространство всех числовых последовательностей

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

где 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра, с метрикой по формуле

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра?

8. Рассмотрим три пространства функций на прямой с метрикой d(f(x), g(x)) = 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра:

а) всех ограниченных непрерывных функций;

б) всех непрерывных функций, у которых 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра;

в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне некоторого интервала.

Будут ли указанные пространства полными?

9. Отображение A на полупрямой 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра переводит точку x в 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра. Является ли отображение сжимающим? Имеет ли неподвижную точку?

10. Пусть функция 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра, заданная и дифференцируемая на отрезке [0, 1], удовлетворяет неравенствам

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

Будет ли уравнение 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра иметь решение?

11. В пространстве 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра элементов вида 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра с метрикой 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра. Найти условие разрешимости системы

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

12. Непрерывны ли функции 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра, где B – множество в метрическом пространстве X.

13. Дано отображение компакта в себя, удовлетворяющее условию 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра при 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра. Показать, что у этого отображения существует единственная неподвижная точка.

14. Может ли компактное множество быть неограниченным?

15. Привести пример компактного в пространстве m множества, все точки которого имеют бесконечное множество координат, отличных от нуля.

16. Будет ли компактным в пространстве C[a, b] множество всех степеней 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра?

17. Показать, что последовательность непрерывных функций 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэрана отрезке [0, 1], где

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

сходится по расстоянию к 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэраи в 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра и в 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра(см. задачу 4), но не стремящуюся в С[a, b] в метрике Чебышева (пример 7, гл. 1) к единице при t = 0.

18. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.

19. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup n |xn - yn| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

20. Показать, что пространство С(-¥, ¥) всех определенных на числовой прямой непрерывных функций, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого интервала, с метрикой

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

21. Показать, что множество F замкнуто тогда и только тогда, когда из d(x, F) = 0 следует хÎF.

22. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?

23. Обозначим АК множество всех функций из С[a, b], удовлетворяющих условию Липшица с одной и той же константой К:

|x(t) - x(s)| £ K|t - s|.

Показать, что множество АК совпадает с замыканием множества всех дифференцируемых на сегменте [a, b] функций x(t) таких, что |x¢(t)| £ K.

24. Указать в эвклидовой плоскости два таких замкнутых непересекающихся множества А и В, что d(А, В) = 1, но не существует точек аÎА и bÎВ таких, что d(а, b) = 1.

25. Показать, что если А - компактное, а В замкнутое множества в метрическом пространстве Х и АÇВ = Æ, то d(А, В) > 0.

26. Пусть f(х) - непрерывное взаимооднозначное отображение компактного метрического пространства Х на метрическое пространство У. Доказать, что обратное отображение f -1(у) пространства У на пространство Х непрерывно.

27. Доказать, что если возрастающая последовательность {xn(t)} вещественных непрерывных функций, заданных на компактном метрическом пространстве Х, поточечно сходится к непрерывной функции х(t), то она сходится к х(t) равномерно.

28. Пусть d(x, y) - метрика на Х. Показать, что

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

также является метрикой на Х и что эти три метрики попарно эквивалентны.

29. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.

30. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup n |xn - yn| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

31. Пусть Х - метрическое пространство с метрикой

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

Ответить на следующие вопросы: 1) В каком случае {xn} будет сходящейся последовательностью в Х? 2) В каком случае {xn} будет фундаментальной последовательностью в Х? 3) Будет ли Х полным пространством? 4) Какие множества всюду плотны в Х? 5) В каком случае Х является сепарабельным пространством? 6) Какие множества в Х открыты, замкнуты?

32. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?

Исследование, описанное в статье про 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.

создано: 2020-09-19
обновлено: 2021-03-13
132265



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Функциональный анализ

Термины: Функциональный анализ