4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое 4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Если дан оператор то оператор , удовлетворяющий равенствам

В(Ах)=х для любого , (8)

А(Ву)=у для любого (9)

называется оператором, обратным к оператору А. Равен­ства (9) и (10) можно записать также в виде

(8*)

(9*)

где и – единичные операторы, действующие в прост­ранствах Х и Y соответственно. Оператор, обратный к А, обозначается символом А-1.

Из общей теории отображений хорошо известно, что необходимым и достаточным условием существования обратного является биективность отображения, т.е. инъективность и сюрьективность. Оказывается для линейных операторов инъективность может быть описаны следующим образом. Пусть и N(A) = {xÎX: Ax = 0} – ядро оператора. В силу линейности нетрудно показать, что N(A) само является линейным многообразием. Из непрерывности оператора А легко следует, что это многообразие замкнуто, т.е. N(A) является подпространством Х. Справедлива лемма.

Лемма 4. Для того чтобы оператор А был инъективен необходимо и достаточно, чтобы N(A) = {0}.

Доказательство. Если оператор инъективен, то равенство очевидно. Покажем, что если N(A) = {0}, то оператор инъективен. Действительно, если Ах1 = Ах2, то Ах1 - Ах2 = А(х1 – х2) = 0 и (х1 – х2)ÎN(A). Следовательно, х1 – х2 = 0, последнее и есть инъективность.

Если обратный оператор существует, то операторное уравнение

(10)

где у – известный элемент, х – искомый элемент, имеет решение при любой правой части и притом только одно. В самом деле, полагая мы будем иметь, что , т. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . е. что х0, есть решение уравнения (10), и следовательно, решение существует. Если – другое решение того же уравнения, т.е. то, действуя на обе части этого равенства оператором А-1, получим или откуда следует, что решение единственно. Ясно поэтому, что решение операторного уравнения (10) сводится к нахождению обратного оператора. Заметим, что обратный оператор может быть лишь один, так как если AB=BA =I и AB1 =B1А = I, то

Однако из непрерывности оператора А, вообще говоря, не следует непрерывность обратного оператора, т.е. оператор, обратный к линейному ограниченному, не обязан быть линейным ограниченным оператором.

Приведем несколько теорем, дающих достаточные условия существования обратного линейного ограниченного оператора.

Терема 6. Пусть линейный непрерывный оператор А, отображающий линейное нормированное пространство X на линейное нормированное пространство Y, удовлетворяет для любого условию

(11)

где m- некоторая константа. Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор A-1.

Доказательство. Из условия (11) следует, что оператор A инъективно отображает X на Y: если и то и согласно (11) откуда Поэтому оператор А биективен, и следовательно, для него существует обратный линейный оператор A-1. Этот оператор ограничен, что следует из (11):

для любого Теорема доказана.

Нетрудно заметить, что утверждение обратимо, т.е. если существует ограниченный обратный, то неравенство (11) выполняется.

Бывают случаи, когда оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается определенным не на всем пространстве , а лишь на некотором линейном многообразии, и неограниченным на этом многообразии. Точно так же операторы, обратные к неограниченному линейному оператору, определенному на некотором линейном многообразии, могут оказаться ограниченными линейными операторами, определенными на всем Y. Приведем примеры, подтверждающие сказанное.

Пример 17. Пусть X = C[0, 1] и

Тогда А – ограниченный линейный оператор, но есть неограниченный оператор, определенный на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций таких, что .

Пример 18. Пусть X = C[0, 1] и

– неограниченный оператор Штурма-Лиувилля, определенный на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что . Обратный оператор

где функция Грина, есть ограниченный линейный оператор, определенный на всем пространстве C[0, 1]

Возникает естественный вопрос: пусть линейный ограниченный оператор АÎL(X, Y) является биективным отображением. Тогда согласно общей теории отображений у него существует обратное отображение. Будет ли этот оператор линеен и ограничен?

Нетрудно показать, что оператор, обратный к линейному аддитивен и однороден. В самом деле, пусть . Имеем в силу аддитивности A:

Отсюда , т.е. и аддитивность оператора A-1 доказана. Аналогично устанавливается однородность оператора A-1.

Ответ на второй вопрос дает следующая теорема.

Теорема 6 (Банаха об обратном операторе). Пусть линейный непрерывный оператор А является биективным отображением банахова пространство X на банахово пространство Y. Тогда оператор А имеет линейный ограниченный обратный оператор.

Доказательство. Для доказательства достаточно установить ограниченность обратного оператора А-1. Обозначим через Tk = {yÎY: ||A-1y|| £ k||y||}. Нетрудно видеть, что любой yÎY попадает в некоторое Tk, Последнее означает, что Y = Èk Tk. В силу теоремы Бэра существует Tn, в котором содержится некий замкнутый шар S[y0, r] пространства Y: S[y0, r] Ì Tn.

Легко также проверяется, что Tk (в том числе и Tn) является линейным многообразием. Возьмем произвольный элемент yÎY. Тогда элемент z = ry/||y|| + y0 Î S[y0, r] Ì Tn. Так как y0 Î Tn, а последнее множество является линейным многообразием, то и z – y0 = ry/||y|| Î Tn. Последнее, опять же в силу линейности Tn, означает, что уÎ Tn. Итак, мы установили, что произвольный элемент yÎY принадлежит Tn, что означает выполнение неравенства ||A-1y|| £ n||y|| для любого yÎY. Этим доказана ограниченность оператора А-1.

Исследование, описанное в статье про 4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ