Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

7. Мера Лебега на Rn кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое 7. Мера Лебега на Rn, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 7. Мера Лебега на Rn , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Пусть m мера, простроенная по теореме 7 на полукольце ячеек. Эта мера порождает внешнюю меру (теорема 8). Мера, порожденная этой внешней мерой на множествах из Rn называется мерой Лебега на Rn.

Следующая теорема является аналогом ранее доказанной теоремы о структуре открытых множеств на числовой прямой.

Теорема 13. Всякое открытое множество G Ì Rn представимо в виде не более чем счет­ного объединения дизъюнктных n-мерных открытых параллелепипедов с конечными ребрами.

Теорема 14. Каждое открытое и каждое замкнутое множество из Rn измеримо.

Доказательство. Легко вытекает из того, что все ячейки в Rn измеримы по теореме 9, далее система измеримых множеств s-алгебра (теорема 9) и любой открытый параллелепипед можно представить в виде счетного объединения возрастающей последовательности ячеек. Воспользовавшись теперь теоремой 13 и снова замкнутостью системы измеримых множеств относительно счетного объединения, получим измеримость любого открытого множества. Измеримость замкнутых множеств получается опять же в силу замкнутости системы измеримых множеств относительно операции дополнения.

Теорема 15. Любой параллелепипед D измерим, при этом m(D) = VD.

Доказательство. Доказательство легко вытекает из вложений D0ÇЕ Ì DÇЕ Ì D*ÇЕ и вытекающего отсюда неравенства внешних мер m*(D0ÇЕ) £ m*(DÇЕ) £ m*(D*ÇЕ), а также равенства m*(D*\D0) = 0.

Теорема 16. Всякое конечное или счетное множество А точек из Rn измеримо и его мера равна 0.

Доказательство. Пронумеруем точки множества А в виде последовательности zn. Возьмем произвольное e > 0. Поместим каждую точку в n-мерный куб (открытый или замкнутый), объем которого не превосходит e/2n. Тогда m*(А) £ e. В силу теоремы 11 это означает, что множество А измеримо и имеет меру 0.

Определение 28. Борелевскими множествами называют множества, принадлежащие наименьшей s-алгебре множеств, содержащей все открытые и замкнутые множества в Rn.

Так как по теореме 14 все открытые и замкнутые множества измеримы, а все измеримые множества образуют s-алгебру, то очевидна следующая теорема.

Теорема 17. Все борелевские множества из Rn измеримы.

Теорема 18. Внешняя мера любого множества Е Ì Rn равна нижней грани мер всевоз­можных открытых множеств, содержащих Е

m*(Е) = 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rnμ(G)

Доказательство. Утверждение практически очевидно, так как, покрывая множество ячейками, мы легко можем покрыть это множество открытыми параллелепипедами, объем которых в совокупности отличается от объема покрытия ячейками на сколь угодно малое положительное число.

Теорема 19. Мера любого ограниченного измеримого множества Е Ì Rn равна верхней грани мер всевоз­можных замкнутых множеств, содержащихся в Е

m(Е) = 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rnμ(F)

Доказательство. Поместим множество Е в некий замкнутый ограниченный параллелепипед Р. При этом предполагаем, что внутренность параллелепипеда Р также содержит множество Е. В силу ограниченности множества Е это можно сделать. В силу свойств меры множество Р – Е измеримо. Из теоремы 18 и свойств меры вытекает (в силу условий на Р наименьшую грань можно брать только по открытым множествам содержащимся в Р):

m(Е) = m(Р – (Р – Е)) = m(Р) - m(Р – Е) = m(Р) - 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rnμ(G) = 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rnm(Р – G).

В силу открытости множества G множество F = P – G является замкнутым. Отсюда вытекает утверждение теоремы.

Задачи

1. Доказать, что система 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn всех конечных подмножеств заданного множества 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn является кольцом.

2. Найти в задаче 1. условие на множество 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, необходимое и достаточное для того, чтобы кольцо 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn являлось алгеброй.

3. Пусть 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – бесконечное множество, а 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – система всех не более чем счетных подмножеств 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Доказать, что 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn является 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-кольцом.

4. Найти в задаче 3. условие на 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, необходимое и достаточное для того, чтобы 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn являлось 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгеброй.

5. Пусть 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – множество, 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – система всех таких множеств 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, что либо 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, либо 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn не более чем счетно. Доказать, что 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn является 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгеброй.

6. Пусть 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – множество, 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – система всех таких множеств 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, что либо 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, либо 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn конечно. Доказать что 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn является алгеброй.

7. Доказать, что система всех интервалов, отрезков и полуинтервалов из отрезка 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn образует полукольцо.

8. Доказать, что система всех интервалов (включая пустой) и система всех отрезков (с добавлением пустого множества) в R не является полукольцом.

9. Доказать, что система всех открытых множеств в R не является полукольцом.

10. Пусть 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – полукольцо (кольцо), 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn. Доказать, что система 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – полукольцо (алгебра) (эту систему мы будем обозначать через 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn).

11. Построить систему множеств, которая замкнута относительно операций 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, но не является даже полукольцом.

12. Пусть 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – полукольцо. Доказать, что система 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn является кольцом.

13. Пусть 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – полукольцо. Доказать, что система 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn совпадает с кольцом 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, определенным в задаче 12.

14. Доказать, что пересечение произвольной непустой системы колец является кольцом (возможно, кольцом 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn).

15. Доказать, что пересечение произвольной непустой системы 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-колец является 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-кольцом.

16. Доказать, что пересечение произвольной системы алгебр с одной и той же единицей является алгеброй.

17. Привести пример двух 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгебр, пересечение которых не является алгеброй.

18. Доказать, что не существует кольца, содержащего ровно 3 различных множества (включая пустое).

19. Построить пример 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгебр 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn таких, что 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn не является кольцом.

20. Доказать, что произведение 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгебр 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn с единицами 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn является кольцом тогда и только тогда, когда хотя бы одна из этих 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгебр содержит не более двух множеств.

21. Пусть даны множества 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, функция 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, а 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – система множеств в 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn. Положим 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn для 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn. Доказать, что если 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – полукольцо, то 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – полукольцо.

22. В условиях задачи 21 доказать, что если 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – кольцо, то 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – тоже кольцо.

23. В условиях задачи 21 доказать, что если 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгебра, то 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn – тоже 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn-алгебра.

24. Построить множества 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn, функцию 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn и кольцо 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn подмножеств 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn такие, что 7. Мера Лебега на Rn 7. Мера Лебега на Rn не является полукольцом.

25. Пусть задано полукольцо P1 промежутков [a, b) (см. теорема 3) и неубывающая ограниченная функция g(x) на числовой прямой. Определим функцию множеств m([a, b)) = g(b) – g(a). Доказать, что m является счетно-аддитивной мерой на P1 тогда и только тогда, когда функция g(x) непрерывна слева во всех точках. (Замечание. Мера, которая получается из этой меры при продолжении называется мерой Лебега-Стильтьеса).

Исследование, описанное в статье про 7. Мера Лебега на Rn, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 7. Мера Лебега на Rn и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про
создано: 2020-09-19
обновлено: 2024-11-13
16



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей

Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Функциональный анализ

Термины: Функциональный анализ