8. Индуцированные топологии и фактортопология кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое 8. Индуцированные топологии и фактортопология, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 8. Индуцированные топологии и фактортопология , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Пусть (Х, t) – топологическое пространство, Y Ì Х – подмножество в Х. Рассмотрим систему подмножеств множества Y: tY = (V: V = UÇV, U Î t).

Теорема 9. Система tY является топологией на Y.

Доказательство этой теоремы не представляет сложности. Топология tY называется индуцируемой или наследственной топологией из Х. Пространство (Y, tY) называется подпространством пространства (Х, t).

Подмножества топологических пространств рассматривают, как правило, с индуцированной топологией. Однако, необходимо иметь ввиду, что переход к индуцированной топологии может изменить сам вид открытых множеств, их структуру. Так, если взять промежуток [a; b) с индуцированной из числовой прямой естественной топологией, то в этой топологии множества вида [a; c), где a < c < b, будут являтся открытыми. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В исходной же топологии они не являются открытыми.

Пусть в абстрактном множестве Х между некоторыми элементами х, у Î Х определено отношение хRу. Это отношение называется эквивалентностью если выполнены следующие свойства:

1) хRх для любого х Î Х (рефлексивносгь);

2) если хRу, то уRх (симметричность);

3) если хRу и уRz, то хRz (транзитивность) .

Множество Х распадается на непересекающиеся множества эквивалентных между собой элементов, или классы эквивалентности.

Множество (Dх) всех классов эквивалентности обозначим через Х/R.

Определение 17. Множество X/R называется фактормножеством множества Х по отношению эквивалентности R.

Пусть (Х, t) – топологическое пространство, пусть в множестве Х определено отношение эквивалентности R. Тогда на фактормножестве Х/R можно ввести естественную топологию следующим образом: подмножество V Ì (Dх), состоящее из элементов Dх назовем открытым тогда и только тогда, когда объединение классов эквивалентности Dх, которые попали в V, как подмножество Х открыто в пространстве (Х, t); к открытым множествам, естественно, отнесем и пустое множество. Как нетрудно проверить, эта совокупность открытых подмножеств в Х/R является топологией и обозначается tR.

Примеры 23. Если Х – прямоугольник (a; b)´(с; d), а отношение эквивалентности R задано так, что хRу тогда и только тогда, когда х и у лежат на одной горизонтали в Х, то Х/R – топологическое пространство, которое можно отождествить с интервалом (c; d).

Исследование, описанное в статье про 8. Индуцированные топологии и фактортопология, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 8. Индуцированные топологии и фактортопология и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ