5. Внешняя мера кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое 5. Внешняя мера, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 5. Внешняя мера , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Определение 21. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X называется вещественная неотрицательная функция m*, заданная на совокупности всех подмно­жеств множества X и удовлетворяющая следующим свойствам:

1. m*(Æ) = 0;

2. Если Е Ì En, где совокупность множеств Еn Ì X не более чем счетна, то (счетная полуаддитивность внешней меры).

Теорема 8. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце P и пусть m* – некоторая функция, определенная для " Е Ì X по следующему правилу:

1. Если для Е существует не более чем счетное покрытие из полукольца P, т.е. Е Ì Аn, где Аn Î P (n = 1, 2,...), то m*(Е) = inf{ m(An)}, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа.

2. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В противном случае m*(E) = +¥.

Тогда m* - внешняя мера в X, причем m*(А) = m(А) для "А Î P.

Доказательство. Сразу отметим, что для "А Î P выполняется равенство m*(А) = m(А). Действительно, если А Ì Аn, где Аn Î P (n = 1, 2,...), то по теореме 6 m(A) £ m(An). Следовательно, inf из определения m* достигается на покрытии, состоящем из одного множества, а именно самого А. Из полученного равенства сразу следует первое свойство внешней меры.

Если хотя бы для одного n выполняется равенство m*(Еn) = +¥, то второе свойство внешней меры очевидно. Пусть m*(En) < +¥ для всех n. Тогда для произвольного e > 0 найдутся покрытие Еn Ì Bkn множествами Вkn из полукольца P такие, что m*(Еn) ³ . Так как Е Ì En, а Еn Ì Bkn, то Е Ì Bkn. Следовательно

m*(Е) £ m(Bkn) £ (m*(En) + e/2n) = m*(En) + e.

В силу произвольности e второе свойство из определения внешней меры доказано.

Определение 22. Будем говорить, что внешняя мера m*, построенная в этой теореме, порождена мерой m.

Исследование, описанное в статье про 5. Внешняя мера, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 5. Внешняя мера и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ