4. Ортогональность и ортогональное дополнение кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое 4. Ортогональность и ортогональное дополнение, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 4. Ортогональность и ортогональное дополнение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Элемент х называется ортогональным подпространству , если х ортогонален любому элементу В этом случае записывают .

Имеет место следующая весьма важная теорема.

Теорема 9. Если и L – некоторое подпространство гильбертова пространства H, то

(4),

где и Указанное разложение единственно.

Доказательство. Если , то, очевидно Предположим поэтому, что Пусть и {yn} – последовательность из L такая, что при .

Пусть далее, h – любой элемент из L, отличный от нулевого вектора. Тогда yn+ εh L для любого ε, и поэтому , т.е. .

Полагая

получаем, что , откуда или

(5).

При h = 0, неравенство (5) также очевидно выполняется. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Из этого неравенства для любого следует

,

и полагая, в частности, получим

Поэтому последовательность {yn} фундаментальна, а значит, в силу полноты H, сходится к некоторому вектору . Так как L замкнуто, то

Переходя к пределу в неравенстве (5), получаем, что , и так как h – любой элемент из подпространства L, то . Полагая , получаем требуемое равенство .

Докажем теперь единственность этого представления. Пусть , , где . Тогда и

, (6)

ибо , а . Но (6) означает, что . Следовательно, также . Теорема доказана.

Элемент y в разложении (4) называется проекцией вектора x на подпространство L. Из предыдущего видно, что совокупность M всех векторов, ортогональных подпространству L есть также подпространство, которое называется ортогональным дополнением к подпространству L и обозначается H - L; говорят также, что H есть ортогональная сумма подпространств L и M, и пишут H = LÅM. Можно, также, сказать, что элемент z предыдущего разложения есть проекция элемента x на подпространство M.

Теорема дает, таким образом, разложение на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства.

Теорема 9. Для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало вектора, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразия М.

Необходимость. Прежде всего очевидно, что из следует . Но по условию и, следовательно, , в частности , откуда следует, что , и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н. Тогда и существует элемент . По предыдущей теореме имеем , где , , и так как , то ; что противоречит условию, и достаточность доказана.

Исследование, описанное в статье про 4. Ортогональность и ортогональное дополнение, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 4. Ортогональность и ортогональное дополнение и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ