Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое 1. Системы множеств, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 1. Системы множеств , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.
Определение 1. Пусть М - произвольное множество. Непустая система K некоторых его подмножеств называется кольцом, если для " А, В Î K
1. AÈB Î K.
2. A\B Î K.
Из этого определения следуют ряд простых следствий. В частности, любое кольцо K содержит пустое множество (Æ = А\А); вместе с множествами А и В кольцо K содержит и симметрическую разность АDВ = (А\В)È(В\А); кольцо также замкнуто относительно операции пересечения АÇВ = (АÈВ)\(АDВ).
Замечание. В учебниках можно встретить разные определения кольца множеств. Эти определения эквивалентны между собой.
Определение 2. Непустая система A подмножеств множества М называется алгеброй, если
1. Если А, В Î A, то A È В Î A.
2. Если АÎ A, то АС = М\А Î A.
Теорема 1. Для того чтобы система K подмножеств множества М была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и М Î K.
Необходимость. Пусть система множеств K является алгеброй и А, В Î K. Тогда по второму АС, ВСÎK. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Следовательно (1 свойство) АС È ВС ÎK и снова по второму свойству (АС È ВС)С = АÇВ ÎK. Следовательно алгебра замкнута относительно операции пересечения.
Используя представление А\В = (АÇВС) получаем, что алгебра замкнута также и относительно операции вычитания множеств. Последнее доказывает, что она является кольцом.
Так как пустое множество принадлежит кольцу K, то и ÆС = М также принадлежит K.
Достаточность. Пусть кольцо K содержит множество М. Тогда, по свойствам кольца, будут выполнены первое и второе свойство алгебры.
Определение 3. Непустая система S подмножеств множества М называется s-кольцом, если оно кольцо, замкнутое по отношению к объединению не только конечного, но и счетного множества множеств, т.е. если
1.из Ai Î S, (i = 1, 2,...) следует, что А =
Ai Î S
2.из А, В Î S следует, что А\В Î S.
Требование, чтобы объединение конечного числа множеств из S входило в S, здесь уже содержится, т.к. в условии 1, в частности, можно взять все Ai, начиная с некоторого, равными пустому множеству.
Game: Perform tasks and rest cool.8 people play!
Play gameСледующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Для того чтобы совокупность S была s-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была s-кольцом и чтобы М Î S.
Определение 5. Пусть К – произвольная непустая совокупность подмножеств множества М, тогда всегда существует наименьшее кольцо (алгебра, s-кольцо или s-алгебра), содержащее К Ì K.
Действительно, таким K будет пересечение всех колец K' (алгебр, s-колец или s-алгебр), состоящих из подмножеств множества М и содержащих К (такие K' существуют, например, совокупность всех подмножеств множества М), эта совокупность K называется кольцом (алгеброй, s-кольцом или s-алгеброй), порожденным совокупностью К.
Определение 6. Система P подмножеств множества М называется полукольцом, если она удовлетворяет следующим условиям:
1. Æ Î P;
2. если А, В Î P, то АÇВ Î P;
3. если A, B ÎP и B Ì A, то существует конечная совокупность таких дизъюнктных множеств Сn Î P, что А \ В =
Cn.
Из указанных свойств кольца вытекает, что любое кольцо является полукольцом.
Исследование, описанное в статье про 1. Системы множеств, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 1. Системы множеств и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про
Комментарии
Оставить комментарий
Функциональный анализ
Термины: Функциональный анализ