Привет, Вы узнаете о том , что такое 7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Обозначим через X = Х1´Х2 прямое произведение пространств X1 и Х2. Каждая точка х = (x1, х2) этого пространства X является упорядоченной парой некоторых точек хi пространств Xi, i = 1, 2.

Если в пространстве Xi (i = 1, 2) задано полукольцо множеств Pi, то через P = P1´P2 будем обозначать произведение полуколец. По лемме 3.1 эта система множеств является полукольцом в пространстве X.

Предположим, что заданы меры mi на полукольцах Pi множеств пространств Xi, i = 1, 2. Тогда функция множества m = m1´m2 определенная на системе P множеств пространства X по формуле

m(А) = m1(А1)m2(А2), A = A1´А2

называется прямым произведением мер mi.

Теорема 21. Пусть mi – счетно-аддитивные меры, заданные на полукольцах Pi, i = 1, 2.

Тогда функция множества m = m1´m2 опреде­ленная на системе P = P1´P2 является счетно-аддитивной мерой.

Доказательство. Рассмотрим счетную сумму множеств

A, Ai Î P1, B, Bi Î P2.

Рассмотрим полукольцо P1ÇА с единицей А. Тогда m1 является счетно-аддитивной мерой на P1ÇА. В соответствии с теоремой 3.10 мы можем построить продолжение этой меры на s-алгебру измеримых множеств S1. Обозначим это продолжение через l1. Определим функции hi(x1) = m2(Bi) (x1), i = 1, 2, … Эта функция является простой на А. Для каждого х1 ÎА положим J(x1) = {i: x1 Î Ai} (заметим, что дизъюнктность множеств Ai´Bi вообще говоря не влечет дизъюнктность множеств Ai). Так как для любого у ÎВ пара (х1, у) ÎА´В, то выполняется равенство В = . В силу счетной аддитивности меры m2

.

Кроме того,

< ¥.

Так как все функции, входящие в сумму неотрицательные и, следовательно, частичные суммы монотонно возрастают, можно в последнем равенстве поменять местами интеграл и сумму (теорема о монотонной сходимости)

.

Следовательно, функция множества m = m1´m2 на P является счетно-аддитивной мерой.

Определение 9. Мера m в пространстве X, которая получается в результате стандартного продолжения пря­мого произведения мер m = m1´m2 с полукольца P = P1´P2 на s-алгебру S измеримых множеств с единицей X называется произведением мер.

Далее мы считаем, что меры m1 и m2 заданы на s-алгебрах S1 и S2 и произведение этих мер m = m1´m2 задано на s-алгебре S и является продолжением с S1´S2.

Прежде чем мы сможем в полном объеме доказать теоре­му Фубини, установим некоторые ее частные случаи. Предва­рительно введем такое обозначение. Если множество Е Ì X = Х1´Х2, то при любом х Î Х1 обозначим через Е(х) Ì Х2 соответствующее сечение, т. е. Е(х) = {уÎХ2: (х, у)ÎЕ}.

Аналогично, при любом у ÎХ2 определяется сечение Е(у) ÌХ1.

Теорема 22. Пусть меры m1 и m2 s-конечны и пол­ны, m = m1´m2, множество Е ÎS и m(Е)<¥. Тогда для почти всех, относительно меры m1, точек хÎХ1 сечение E(x)ÎS2, функция m2(E(х)) интегрируема на Х1 и

. (5)

Здесь мы произвольным образом доопределяем функцию m2(E(х)) в тех точках, где она не существует. Разумеется, аналогичное представление остается справедливым, если мы поменяем ролями m1 и m2.

Доказательство. Ясно, что утверждение теоремы справедливо для множеств Е ÎS1´S2, а тогда, в силу линейности обеих частей формулы (5), и для любого Е, представимого в виде конечного дизъюнктного объединения множеств из полукольца S1´S2 (см. задачу 3.13).

Пусть теперь Е произвольное измеримое множество конечной меры. Рассмотрим его измеримую оболочку А (теорема 3.12). Тогда по построению измеримой оболочки Е = А\Н, где множество Н имеет меру нуль: m(Н) = 0 и

, где ВijÎ P.

Пусть и . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда имеет место равенство и

,

причем множества Dnk имеют вид и обязаны принад­лежать минимальному кольцу, содержащему P. Заметим, что эта последовательность множеств не убывает Dn1 Ì Dn2 Ì …и m 2(Dnk(x)) ­ m 2(Cn(x)). Поэтому по теореме о монотонной сходимости интеграла утверждение леммы верно для множеств Сn. Аналогично, последовательность множеств С1 É С2 É … не возрастает и m2(Cn(x)) ¯ m2(A(x)). Значит утверждение верно для множества A.

Осталось проверить утверждение для множеств Н Ì Х1´X2 меры нуль, m(H) = 0. Пусть F есть измери­мая оболочка множества H, тогда m(H) = m(F) = 0, и по доказанному выше, мы имеем равенство

m(H) = m(F) = = 0

Из свойств интеграла Лебега вытекает, что п. в. сечения вида F(х) имеют меру нуль, m2(F(х)) = 0. Так как H(х) Ì F(х), то тем более m2(Н(х)) = 0 при п в. х ÎX. Следователь­но, функция f(x) = m2(Н(х)) эквивалентна нулю и утверждение доказано.

В доказанной теореме переменные х и у можно поменять места­ми. Поэтому п. в. сечения Е(х) ÎS2 и Е(у) ÎS1 измеримого множества Е конечной меры будут измеримы, функции f(x) = m2(Е(х)) и g(y) = m1(E(у)) эквивалентны измеримым функциям, при этом имеют место равенства

.

Применяя счетную аддитивность интеграла и теорему о монотонной сходимости, нетрудно доказать теорему и для множеств Е ÎS s-конечной меры. Таким образом, п. в. сечения Е(х) и Е(у) множества s-конечной меры измеримы, a f(x) = m2(Е(х)) и g(y) = m1(E(у)) эквивалентны измеримым функциям. Если Е не имеет s-конечной меры, то утвер­ждение леммы может быть неверным.

Пусть для множества Е Ì X = Х1´Х2 функция f действует из Е в R. Тогда функция fх(у) = f (х, у), определенная на множестве Е(х), называется сечением функции f по переменной х. Если Е(х) пусто, то по определению полагаем fх(у) = 0.

Теорема 23 (Фубини). Если функция f интегрируема на множестве Е ÎS s-конечной меры, то при почти всех хÎХ сечения fx измеримы на множестве Е(х), при почти всех yÎХ2 сечения fy измеримы на множестве Е(у), а их интегралы

,

эквивалентны измеримым функциям. При этом

.

Доказательство. Мы докажем теорему для сечений по переменной х. Вначале предположим, что для простых функций теорема уже доказана. По определению инте­грала Лебега каждая интегрируемая функция является разностью f = f+ – (–f_) неотрицательных интегрируемых функций. Поэтому нам достаточно рассмотреть неотри­цательные интегрируемые функции f ³ 0.

В этом случае существует монотонная последователь­ность простых неотрицательных интегрируемых функций fn ­ f, сходящаяся к функции f на множестве Е. Так как сечения этих функций fnx­fx сходятся монотонно на множестве Е(x), то по теореме о монотонной сходимости при п. в. x ÎХ1 имеет место равенство

.

Заметим, что по предположению интегралы от простых функций fnx не убывают и эквивалентны измеримым функциям. Поэтому можно еще раз применить теорему о монотонной сходимости. Таким образом, интеграл будет также эквивалентен измеримой функции и

.

Докажем теорему для простых интегрируемых функций. В силу свойства линейности интеграла нам достаточно рассмотреть только характеристические функции f = cE измеримых множеств Е конечной меры m(Е) < ¥. В этом случае теорема Фубини принимает вид

.

При этом утверждается, что сечения Ех ÎS2 измеримы при п. в. х ÎХ1 и функция g(x) = m2(Е(x)) эквивалентна измеримой функции. Таким образом, мы свели теорему к уже доказанной теореме 22.

Следует отметить, что в общем слу­чае даже существование обоих повторных интегралов и их ра­венство не влечет существования двойного интеграла.

Задачи

1. Интегрируема ли по Риману на отрезке [0, 1] функция f (x), которая равна х3 если х иррационально, и равна 1, если х рационально. Интегрируема ли она по Лебегу на отрезке [0, 1]? Если да, то чему равны эти интегралы?

2. Пусть f (x) – неотрицательная интегрируемая функция на Е и mE{ f (x) ³ c} = a. Доказать, что .

3. Пусть f (x) – интегрируемая на [a, b] функция. Доказать, что если при любом c Î[a, b], то f (x) = 0 почти всюду на [a, b].

4. Интегрируемы ли по Лебегу функции 1/х и 1/х2 на интервале (0, 1)?

5. Пусть ограниченная функция f (x) интегрируема по Лебегу на множестве Е. Будут ли интегрируемы по Лебегу на этом множестве функции (f (x))10, | f (x)|, 1/ f (x), cos f (x)?

6. Пусть функция f (x) неотрицательна и измерима на множестве Е конечной меры. Доказать, что эта функция интегрируема на Е тогда и только тогда, когда сходится ряд , где Еk = E{k £ f (x) £ k + 1}.

7. Доказать, что если функция f (x) интегрируема на отрезке [0, a], то при любом k > 0 функция f (kx) интегрируема на отрезке [0, a/k] и

.

8. Пусть функция f (x) измерима на множестве Е конечной меры. Доказать, что существует положительная измеримая на Е функция j(х) такая, что произведение f (x)× j(х) интегрируемо на Е.

9. Привести пример функции f (x), которая непрерывна на промежутке (a, b], имеет сходящийся несобственный интеграл Римана (R) , но не является интегрируемой по Лебегу на (a, b).

10. Пусть - последовательность измеримых на Е ограниченных неотрицательных функций. Пусть ® 0 при n ® ¥. Следует ли из этого, что fn(x) ® 0 при n ® ¥ всюду или хотя бы почти всюду на Е?

11. Построить на каком-либо множестве Е конечной меры последовательность ограниченных измеримых функций , сходящуюся почти всюду на Е к функции j, которая не интегрируема на Е.

12. Доказать, что измеримая на множестве Е конечной меры неотрицательная функция f (x) и нтегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда сходится ряд , где Ek = E{ f (x) ³ k}

13. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке (a, b]. Доказать, что если функция f (x) интегрируема по Лебегу на отрезке [a, b], то существует несобственный интеграл в обычном смысле на этом отрезке и его значение совпадает со значением интеграла Лебега.

14. Доказать, что существует функция f (x) непрерывна на промежутке (a, b], для которой несобственный интеграл на отрезке [a, b] сходится, а интеграл Лебега на этом отрезке не существует.

15. Пусть f (x) – измеримая функция, определенная на множестве Е конечной меры. Определим срезки функции

.

Назовем Q-интегралом функции f (x) следующий предел (если он существует)

.

Доказать, что функция f (x) интегрируемая по Лебегу на Е также Q-интегрируема и интегралы равны.

16. Привести пример не интегрируемой по Лебегу функции, у которой Q-интеграл существует.

17. Доказать, что для неотрицательной измеримой функции f (x) из существования Q-интеграла вытекает интегрируемость по Лебегу функции f (x).

18. Доказать, что любая измеримая нечетная на отрезке [-a, a] функция f (x) Q-интегрируема на этом отрезке.

19. Справедливо ли утверждение: если измеримая функция f (x) Q-интегрируема на множестве Е, то она Q-интегрируема на любом его измеримом подмножестве?

20. Справедливо ли утверждение: если измеримая функция f (x) Q-интегрируема на множестве Е, то функция с f (x) также Q-интегрируема на множестве Е и справедливо равенство

?

21. Справедливо ли утверждение: если измеримые функции f (x) и g(x) Q-интегрируемы на множестве Е, то функция f (x) + g(x) также Q-интегрируема и справедливо равенство

.

22. Справедливо ли утверждение: если измеримые функции f (x), g(x) и f (x) + g(x) Q-интегрируемы на множестве Е, то справедливо равенство

.

23. Пусть на отрезке [а, b] задана конечная вещественная функция f (x). Разобъем отрезок [а, b] на части точками x0 = a < x1 < …< xn = b и составим сумму

.

Точная верхняя грань всевозможных сумм V называется полной вариацией функции f (x) на отрезке [а, b] и обозначается . Если полная вариации f (x) конечна, то функция называется функцией ограниченной вариации. Доказать, что любую функцию ограниченной вариации можно разложить на разность двух невозрастающих функций.

24. Показать, что функция ограниченной вариации f (x), непрерывная слева, определяет равенством v([с, d)) = f (d) - f (c) заряд на полукольце P1Ç[а, b] (см. глава 3).

Исследование, описанное в статье про 7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ