5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое 5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Приведем критерии компактности в конкретных метрических пространствах.

Определение 12. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равномерно ограниченным, если $C: |x(t)| £ C, "tÎ[0, 1], "xÎM.

Определение 13. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равностепенно непрерывным, если для "e>0 $d(e)>0: |t1 - t2| < d, t1, t2Î[0,1] Þ |x(t1) - x(t2)|<e,"xÎM.

Теорема 5 (Арцела). Множество M Ì C[0, 1] - относительно компактно Û 1)М - равномерно ограниченно, 2)М – равностепенно непрерывно.

Необходимость. Положим e = 1 и построим для этого e конечную e-сеть x1(t),..., xn(t) Î C[0, 1] для множества М. Тогда S(xk(t), 1) É M. Для любого yÎМ Ì S(xk(t), 1) найдется такое m, 1£ m £n, что d(y, xm(t))<1. Следовательно, |y(t) – xm(t)| < 1 и |y(t)| £ |xm(t)| + 1. Так как существует С такое, что |xk(t)| £ C для любого k = 1, 2, 3,..., n, то |y(t)| £ C + 1. В силу произвольности уÎМ в этом неравенстве и так как правая часть последнего неравенства от выбора этого у не зависит, мы получим равномерную ограниченность множества функций из М.

Возьмем теперь e > 0 произвольно и также построим конечную e-сеть, {xk(t)}, k=1, 2,..., n. Для конечного набора функций {xk(t)} в силу его конечности и равномерной непрерывности каждой из функций можно указать такое d>0, что из |t1 – t2| < d, t1, t2Î[0, 1] Þ |xk(t2) – xk(t2)| < e для любого k = 1, 2, ..., n. Возьмем произвольное хÎМ. Тогда $m такое, что |x(t) – xm(t)| < e для "tÎ[0, 1]. В силу неравенств

|x(t1) – x(t2)| £ |x(t1) – xm(t1)| + |xm(t1) – xm(t2)| + |xm(t2) – x(t2)| < e + e + e = 3e

для |t1 – t2| < d, t1, t2 Î [0, 1], следует, что |x(t1) – x(t2)| £ 3e, если |t1 – t2| < d, t1, t2 Î[0, 1]. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Этим показана равностепенная непрерывность функций из множества М.

Достаточность. Пусть множество функций M Ì C[0, 1] - равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим для М компактную e-сеть. По предположению о равностепенной непрерывности множества М для "e >0 $ d>0: из |t1 – t2|<d Þ |x(t1) – x(t2)| < e для "х Î M. Подберем натуральное число n так, чтобы 1/n < d и разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей. Для каждой функции х Î M поставим ей в соответствие набор чисел (х(0), х(1/n), х(2/n), ..., х(1)). Этим построено отображение функций множества М в вектор (x1, x2,..., xn+1) Î Rn+1. Рассмотрим множество Mn+1 = {(x1,..., xn+1) Î Rn+1: $хÎM: (х(0), х(1/n), х(2/n),..., х(1)) = (x1, x2, x3,..., xn+1) }. Так как |х(t)|£M,"tÎ[0, 1], "хÎM, то |xk| £ C для k = 1, 2,..., n + 1, т.е. множество Mn+1 – ограничено в Rn+1, а значит относительно компактно в Rn+1.

Построим множество кусочно-линейных функций Mкл по множеству Mn+1. Именно, для (x1, x2, x3,..., xn+1)ÎMn+1 полагаем хкл(t) = n(t - k/n)(xk+2 - xk+1) + xk+1, при tÎ[k /n, (k + 1)/n], k = 0, 1, 2, …, n – 1. Геометрически последнее означает, что мы соединяем точки (k/n, хk+1) и ((k+1)/n, хk+2) отрезком прямой. Вычислим расстояние между двумя функциями из Mкл в метрике пространства С[0, 1]. Имеем

При этом второе равенство выполняется, так как разность линейных функций на отрезке достигает своих меньших и больших значений на концах отрезка. Этим мы установили изометрический изоморфизм между метрическими пространствами Мn+1 с метрикой d¥(x, y) = |xk – yk| и Mкл с метрикой пространства С[0, 1].

Пусть х(n) ÎM и х(n)клÎMкл - построенные по х(n) указанным выше способом кусочно-линейные функции. Так как множество Мn+1 является ограниченным в Rn+1 и следовательно относительно компактным, а сходимость по метрике в Rn+1 эквивалентна сходимости по метрике d¥(x, y) = maxk |xk – yk| (покажите это), то и множество Mкл также является относительно компактным в C[0, 1]. Для завершения доказательства покажем, что Мкл компактная e-сеть для множества М.

В силу равностепенной непрерывности и выбора n из t1, t2Î[(k–1)/n, k/n] следует, что |x(t1) – x(t2)| < e для "х Î M. Пусть для определенности на концах отрезка x((k–1)/n) £ x(k/n). Последнее означает, что функция xкл(t) возрастает на отрезке [(k–1)/n, k/n]. Тогда –e < x(t) – x(k/n) £ x(t) – xкл(t) £ x(t) – x((k–1)/n) < e для любого tÎ[(k–1)/n, k/n]. Таким образом, , d(x(t), xкл(t))< e и Мкл компактная e-сеть для М. Теорема доказана.

Теорема 6. Множество M Ì lp (1 £ p < ¥) - относительно компактно тогда и только тогда, когда 1) множество M - ограничено, 2) для "e>0 $ N(e): < e для "n³N,"xÎM.

Необходимость. Необходимость 1) условия очевидна. Докажем второе условие. Пусть y(1), y(2),..., y(r) - конечная e/2 - сеть для множества М. В силу конечности этого набора для "e>0 $ N(e): < e/2 для "n³N, m = 1, 2,..., r. Тогда для произвольного хÎM выберем у(m) так, что d(x, y(m)) < e/2. В результате имеем: £ £ d(x, y(m)) + e/2 < e. Получаем необходимое неравенство.

Достаточность. Пусть х = (х1, х2,..., хm, xm+1, xm+2,..) и Pmx = (x1, x2,..., xm, 0, 0,...), Qmx = x - Pmx. По условиям теоремы для "e>0 $ m: d(Qnx, 0)<e, n³m, "xÎM. Множество Mm = {Pmx, xÎM} является изометрически изоморфным ограниченному множеству в Rm, следовательно, оно относительно компактно. Тогда для xÎM , РmxÎMm и d(x, Pmx) = d(Qmx, 0)<e. Отсюда Мm - компактная e-сеть для М, следовательно М -компактно. Теорема доказана.

Исследование, описанное в статье про 5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ