Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Рассмотрим теперь множество линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). в себя.

B пространстве операторов 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., действующих в ба­наховом пространстве X можно рас­сматривать произведение операторов. Именно, если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., то АВ есть оператор, определяемый равенством 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Отличительной особенностью этого произведения является его некоммутативность, потому что, вообще говоря, АВ 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). ВА. Чтобы получить пример некоммутирующих операторов, достаточно взять в Rn два оператора, A и В, заданные некоммути­рующими матрицами 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).. Так как оператор АВ за­дается произведением матриц 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., что легко прове­рить, то некоммутируемость таких операторов очевидна. Свойством дистрибутивности произведение операторов обла­дает, так как из определения суммы и произведения опера­торов следует, что

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

т.е. что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Отметим, что если I – единичный оператор, то 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). для любого 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)..

Нетрудно проверить, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). В самом деле, пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Тогда

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Поэтому

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Из доказанного неравенства, в частности, следует, что если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). в смысле равномерной сходимости, то 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Прежде всего из сходимости последовательности 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). к А следует, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). есть ограниченная числовая последовательность, т. е. 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). для любого n. Поэтому

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

при 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). так как в каждом слагаемом справа один множитель ограничен, а другой стремиться к нулю.

Частным случаем произведения операторов являются степени оператора

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Ясно, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Положим, кроме того, по определению, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Теорема 7. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). где X – банахово пространство и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Тогда оператор 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). имеет обратный линейный и ограниченный оператор, причем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Доказательство. Рассмотрим ряд

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (12)

и составим частичные суммы этого ряда:

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Отсюда следует, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). при 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). т.е. последовательность частичных сумм ряда (12) является фундаментальной. В силу полноты пространства операторов существует 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Покажем, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

ибо 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). как общий член сходящегося ряда. Аналогично убеждаемся, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и теорема полностью доказана.

Применим доказанную теорему к интегральным уравнениям.

Пример 19. Пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).непрерывное на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). ядро и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). непрерывная на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). функция. Тогда

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

есть линейный оператор, действующий в пространстве 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). а интегральное уравнение

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (13)

называется уравнением Фредгольма второго рода, можно записать в операторной форме 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

На основании предыдущей теоремы мы получаем, что если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). то уравнение (13) имеет единственное решение, которое дается равенством

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Рассмотрим подробнее это решение и условия, при которых оно существует. Так как 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). то условие 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). очевидно, выполняется, если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Будем считать, что 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). удовлетворяет этому неравенству. Выясним, что представляют в нашем случае степени оператора. Имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Пусть 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Функция 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). называется второй итерацией ядра 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Итак,

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

или, меняя обозначение переменной интегрирования,

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Далее,

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

и, снова пологая

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

можем написать

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).третья итерация ядра 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Вообще

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).n-я итерация ядра 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). определяемая формулой

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Равенства 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). которое мы отмечали выше, дают

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения может быть записано так:

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (14)

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится в смысле сходимости в пространстве C[a, b], т.е. равномерно. Преобразуем выражение для решения интегрального уравнения. Рассмотрим формальный ряд

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (15)

Этот ряд равномерно сходится на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).если 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).. В самом деле, прежде всего имеем

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

и вообще 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Отсюда 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). где 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). Таким образом, общий член исследуемого функционального ряда не превосходит по абсолютной величине члена сходящегося числового ряда, и тре­буемая равномерная сходимость доказана. Обозначим сумму этого ряда R(t, s, 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).). Это - непрерывная функция. Умножая члены ряда (15) на 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и интегрируя ряд почленно, получим

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Сравнивая это выражение с выражением (14) для решения интегрального уравнения, можем написать

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). (16)

Это и есть выражение для обратного оператора 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). в компактной форме. Функция R(t, s, 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).) называется разре­шающим ядром рассматриваемого уравнения Фредгольма.

Сравните полученное решение с решение в главе 2 п. 2.

Пример. 20. Рассуждениями, аналогичными проведенным выше, легко показать, что если

5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

и 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). то интегральное уравнение (13) при значениях параметра m, удовлетворяющих неравенству 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). имеет решение, выражаемое формулой (16), где разрешающее ядро R(t, s, 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).), по переменным t и s имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15), его изображающий, сходится в среднем.

Исследование, описанное в статье про 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про
создано: 2020-09-19
обновлено: 2021-03-13
132265



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Функциональный анализ

Термины: Функциональный анализ