Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.
Рассмотрим теперь множество линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство в себя.
B пространстве операторов , действующих в банаховом пространстве X можно рассматривать произведение операторов. Именно, если , то АВ есть оператор, определяемый равенством
Отличительной особенностью этого произведения является его некоммутативность, потому что, вообще говоря, АВ ВА. Чтобы получить пример некоммутирующих операторов, достаточно взять в Rn два оператора, A и В, заданные некоммутирующими матрицами и . Так как оператор АВ задается произведением матриц и , что легко проверить, то некоммутируемость таких операторов очевидна. Свойством дистрибутивности произведение операторов обладает, так как из определения суммы и произведения операторов следует, что
т.е. что
Отметим, что если I – единичный оператор, то для любого .
Нетрудно проверить, что В самом деле, пусть и Тогда
Поэтому
Из доказанного неравенства, в частности, следует, что если и в смысле равномерной сходимости, то
Прежде всего из сходимости последовательности к А следует, что есть ограниченная числовая последовательность, т. е. для любого n. Поэтому
при так как в каждом слагаемом справа один множитель ограничен, а другой стремиться к нулю.
Частным случаем произведения операторов являются степени оператора
Ясно, что
Положим, кроме того, по определению, что
Теорема 7. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть где X – банахово пространство и Тогда оператор имеет обратный линейный и ограниченный оператор, причем
Доказательство. Рассмотрим ряд
(12)
и составим частичные суммы этого ряда:
Имеем
где Отсюда следует, что при т.е. последовательность частичных сумм ряда (12) является фундаментальной. В силу полноты пространства операторов существует
Покажем, что Имеем
ибо как общий член сходящегося ряда. Аналогично убеждаемся, что и теорема полностью доказана.
Применим доказанную теорему к интегральным уравнениям.
Пример 19. Пусть непрерывное на ядро и непрерывная на функция. Тогда
есть линейный оператор, действующий в пространстве а интегральное уравнение
(13)
называется уравнением Фредгольма второго рода, можно записать в операторной форме
На основании предыдущей теоремы мы получаем, что если то уравнение (13) имеет единственное решение, которое дается равенством
Рассмотрим подробнее это решение и условия, при которых оно существует. Так как то условие очевидно, выполняется, если Будем считать, что удовлетворяет этому неравенству. Выясним, что представляют в нашем случае степени оператора. Имеем
Пусть Функция называется второй итерацией ядра
Итак,
или, меняя обозначение переменной интегрирования,
Далее,
и, снова пологая
можем написать
где третья итерация ядра Вообще
где – n-я итерация ядра определяемая формулой
Равенства которое мы отмечали выше, дают
С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения может быть записано так:
(14)
Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится в смысле сходимости в пространстве C[a, b], т.е. равномерно. Преобразуем выражение для решения интегрального уравнения. Рассмотрим формальный ряд
(15)
Этот ряд равномерно сходится на если . В самом деле, прежде всего имеем
и вообще
Отсюда где Таким образом, общий член исследуемого функционального ряда не превосходит по абсолютной величине члена сходящегося числового ряда, и требуемая равномерная сходимость доказана. Обозначим сумму этого ряда R(t, s, ). Это - непрерывная функция. Умножая члены ряда (15) на и интегрируя ряд почленно, получим
Сравнивая это выражение с выражением (14) для решения интегрального уравнения, можем написать
(16)
Это и есть выражение для обратного оператора в компактной форме. Функция R(t, s, ) называется разрешающим ядром рассматриваемого уравнения Фредгольма.
Сравните полученное решение с решение в главе 2 п. 2.
Пример. 20. Рассуждениями, аналогичными проведенным выше, легко показать, что если
и то интегральное уравнение (13) при значениях параметра m, удовлетворяющих неравенству имеет решение, выражаемое формулой (16), где разрешающее ядро R(t, s, ), по переменным t и s имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15), его изображающий, сходится в среднем.
Исследование, описанное в статье про 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C)., подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C). и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про
Комментарии
Оставить комментарий
Функциональный анализ
Термины: Функциональный анализ