1.6. ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ кратко

Привет, сегодня поговорим про двумерное преобразование фурье, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое двумерное преобразование фурье , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.

Методом двумерного преобразования Фурье (two-dimensional Fourier transform - 2-DFT) является преобразование Фурье, произведенное над двумерным массивом данных. Рассмотрим двумерный массив данных, показанный на рисунке.

Эти данные имеют два измерения: t' и t". Преобразование Фурье над данными производится сначала в одном, а затем в другом направлениях. Первая часть преобразований Фурье проводится в t' измерении для получения f' на t" множества данных.

Вторая часть преобразований Фурье производится в t" измерении для получения f' на f" множества данных.

двумерное преобразование фурье необходимо для проведения МРТ на современном уровне. В МРТ, данные собираются в эквиваленте t' и t" измерениям, называемом К-пространстве. Эти исходные данные преобразуются для получения изображения, которое эквивалентно описанным ранее f' на f" данным.

В результате двумерного преобразования Фурье функции , описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется как

, (1.6.1)

где - пространственные частоты, а . Если обозначить оператор преобразования Фурье через , то можно записать

. (1.6.2)

В общем случае спектр есть комплексная величина. Его можно разложить на действительную и мнимую части:

(1.6.3а)

или представить с помощью амплитуды и фазы:

, (1.6.3б)

где

, (1.6.4а)

. (1.6.4б)

Достаточным условием существования фурье-спектра функции является абсолютная интегрируемость этой функции, т.е. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . условие

. (1.6.5)

Исходная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:

. (1.6.6a)

Это соотношение в операторной форме можно записать как

. (1.6.6б)

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится

(1.6.7)

а затем

(1.6.8)

Ниже приводятся несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье. Их доказательства можно найти в книгах [1, 2].

Функциональные свойства

Если функция разделима по пространственным переменным, так что

, (1.6.9)

то

, (1.6.10)

где - одномерные фурье-спектры функций , . Если есть фурье-спектр функции , то является фурье-спектром функции . (Звездочка обозначает комплексную сопряженность.) Если функция симметрична, т.е. , то .

Линейность

Оператор преобразования Фурье линеен:

, (1.6.11)

где – постоянные.

Изменение масштаба

Изменение масштаба пространственных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:

. (1.6.12)

Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.

Сдвиг

Сдвиг (изменение координат) на исходной плоскости приводит к фазовым изменения на частотной плоскости:

(1.6.13а)

Наоборот, сдвиг на частотной плоскости вызывает фазовые изменения исходной функции:

(1.6.13б)

Свертка

Фурье-спектр функции, полученный в результате свертки двух функций, равен произведению спектров исходных функций:

(1.6.14)

Обратная теорема утверждает, что

(1.6.15)

Теорема Парсеваля

Два представления энергии изображения – через функцию и фурье-спектр - связаны следующим образом:

(1.6.16)

Теорема о спектре автокорреляционной функции

Фурье-спектр двумерной автокорреляционной функции изображения равен квадрату модуля фурье-спектра этого изображения:

(1.6.17)

Спектры пространственных производных

Фурье-спектры первых пространственных производных функции связаны с ее фурье-спектром следующими соотношениями:

(1.6.18a)

(1.6.18б)

Следовательно, спектр лапласиана равен

(1.6.19)

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• свойства дискретного преобразования фурье ,
• быстрое преобразование фурье , fft , fast fourier transform ,
• бпф по основанию с прореживанием по времени ,
• полифазное бпф , polyphase fft , полифазное быстрое преобразование фурье ,

Надеюсь, эта статья про двумерное преобразование фурье, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое двумерное преобразование фурье и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про двумерное преобразование фурье