1.8. ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Привет, сегодня поговорим про обобщенные линейные системы, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое обобщенные линейные системы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.

В разделе 1.4 были введены понятия линейности и суперпозиции с тем, чтобы распространить понятие линейности на более широкий класс систем.

Рассмотрим две функции, описывающие изображения,  и , которые, взаимодействуя некоторым образом , дают функцию :

.                                                  (1.8.1)

Пусть  - оператор системы, преобразующей , который обладает следующими свойствами:

     (1.8.2a)

и

                                    (1.8.2б)

где  - постоянная, а двоеточие обозначает обобщенное умножение на постоянную. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В работе [4] показано, что если операция  сводится к сложению векторов, а операция : - к умножению вектора на скаляр, то оператор  может быть представлен в виде цепочки операторов, называемой гомоморфным фильтром (рис. 1.8.1). Первый оператор  превращает операции  и : в сложение векторов и умножение вектора на скаляр:

     (1.8.3а)

и

                                (1.8.3б)

Рис. 1.8.1. обобщенные линейные системы : а — обобщенная система; б — представление обобщенной системы в виде гомоморфного фильтра; в - мультипликативный гомоморфный фильтр.

Вторая ступень гомоморфного фильтра – обычная линейная система. Третья ступень – оператор , который является обратным относительно первого оператора, т.е.

                                    (1.8.4)

Рис. 1.8.1, в иллюстрирует частный случай гомоморфного фильтра для мультипликативной системы [5], в которой функция   получается в результате перемножения функций  и , т.е.

     (1.8.5)

Прологарифмировав обе части равенства (1.8.5), получим сумму логарифмов функций  и :

     (1.8.6)

Функция  преобразуется некоторой линейной системой, а затем посредством экспоненциального преобразования возвращается в пространство исходных изображений. Операция обобщенного умножения вектора на скаляр определяется как возведение в степень

                        (1.8.7)

Логарифмирование этого равенства дает

                             (1.8.8)

Применение гомоморфной  фильтрации при восстановлении изображений рассмотрено в гл. 15.

Надеюсь, эта статья про обобщенные линейные системы, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое обобщенные линейные системы и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений