6.2. КВАНТОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН кратко

Привет, сегодня поговорим про квантование векторных величин, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое квантование векторных величин , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.

Обычно квантование совокупности отсчетов выполняется последовательно. Каждый отсчет рассматривается как скалярная величина и квантуется независимо от остальных отсчетов с помощью методов, описанных в предыдущем разделе. Однако часто удается уменьшить ошибку квантования, если все отсчеты квантовать совместно.

Рассмотрим сигнал , представляющий собой вектор размера . Будем полагать, что этот вектор является реализацией случайного вектора с -мерной плотностью вероятности

. (6.2.1)

При квантовании вектора -мерное векторное пространство разделяют на ячеек квантования каждой из которых соответствует один из квантованных векторов. Векторный сигнал заменяется на квантованный вектор если попадает в ячейку . На рис. 6.2.1 приведены примеры векторного квантования в одно-, двух- и трехмерном пространствах. В подобной общей постановке задачи о векторном квантовании векторный сигнал преобразуется в вектор но компоненты вектора при этом не обязательно будут квантоваться по отдельности по набору дискретных пороговых уровней.

Рис. 6.2.1. Ячейки квантования в векторном пространстве: а – одномерное пространство; б – двумерное пространство; в – трехмерное пространство.

Среднеквадратическую ошибку векторного квантования можно представить в виде суммы

(6.2.2)

Оптимальное положение квантованных векторов при фиксированных границах ячеек квантования можно найти, приравнивая нулю частные производные ошибки квантования по векторам . В результате получается система интегральных уравнений

(6.2.3)

После преобразований находим

(6.2.4)

Равенство (6.2.4) определяет условное математическое ожидание вектора , когда он попадает в ячейку :

. (6.2.5)

В этом случае минимальная средне-квадратическая ошибка квантования равна

, (6.2.6)

где - корреляционная матрица вектора . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Заметим, что при формула (6.2.4) сводится к (6.1.11), а выражение для ошибки квантования (6.2.6) переходит в формулу (6.1.12).

Оптимальные положения квантованных векторов при фиксированных ячейках квантования невозможно определить, не зная совместной плотности вероятности . Однако часто такая информация отсутствует. Еще одна существенная трудность связана с фактическим вычислением интегралов в формуле (6.2.4). Поэтому часто приходится упрощать процедуру векторного квантования. Так, можно квантовать все компоненты вектора по отдельности, но задавать квантованные векторы с помощью ячеек квантования . Тогда в трехмерном пространстве ячейки превращаются в прямоугольные параллелепипеды. Если при этом компоненты вектора некоррелированы, то векторное квантование сводится к последовательному квантованию скалярных величин. Однако если отсчеты коррелированы, то задача определения оптимального вектора как правило, не поддается решению без введения дополнительных упрощающих предположений. Кэри получил решения применительно к совместным гауссовым плотностям, когда ячейки квантования , достаточно малы. Хунс исследовал рекуррентный метод решения такой задачи, когда каждая компонента вектора определяется с помощью последовательных приближений на основе остальных квантованных компонент вектора. Этот метод позволяет найти решение задачи для множества различных плотностей вероятности: в части 6 он рассмотрен как средство уменьшения ошибок квантования в системах, использующих ИКМ и кодирование с преобразованием.

Попытаемся теперь найти такой набор ячеек квантования при котором минимизируется среднеквадрэтическая ошибка квантования. Брюс разработал метод решения этой задачи, основанный на динамическом программировании. Однако в общем случае оптимальные формы ячеек квантования сложны и определить их весьма трудно. Поэтому в большинстве методов векторного квантования используется субоптимальный подход, когда для каждой компоненты вектора задается фиксированное число уровней квантовании , где , и все компоненты квантуются независимо. Задача оптимизации сводится в этом случае к выбору величин , произведение которых

(6.2.7)

есть фиксированное число уровней квантования для данного вектора. Ошибка квантования -го отсчета равна

.. (6.2.8)

В системах с цифровым кодированием число уровней квантования обычно выбирают равным двоичному числу

, (6.2.9)

где – целое число кодовых разрядов (бит) для -й компоненты вектора. Общее количество кодовых разрядов должно быть постоянно и равно

. (6.2.10)

Такой способ квантования называется блочным.

Несколько специалистов [7-9] разработали алгоритмы распределения числа разрядов при фиксированном , позволяющие минимизировать среднеквадратическую ошибку квантования. При использовании алгоритма, предложенного Реди и Уинцем и применяемого для квантования независимых гауссовых величин по методу Макса, следует выполнить следующие операции:

1. Вычислить распределение числа разрядов по формуле

, (6.2.11)

где - дисперсия -го отсчета.

2. Округлить каждое из чисел до ближайшего целого.

3. Изменять полученное распределение, пока не будет выполнено условие (6.2.10)

Вывод соотношения (6.2.11) основан на экспоненциальной аппроксимации зависимости (6.1.12), связывающей ошибку квантования -го отсчета и заданное ему число разрядов . Если невелико, то эта аппроксимация оказывается довольно грубой. Более надежные результаты можно получить, пользуясь разработанным Прэттом [10] методом минимальной ошибки. Здесь разряды последовательно отводятся отсчетам, которые имеют наибольшую дифференциальную ошибку (6.2.8). При квантовании величин с нулевым средним алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Определение начальных условий:

- общее число разрядов в кодовой комбинации блока,

- длина блока,

- дисперсия компоненты,

- плотность вероятности компоненты,

- индекс разряда (сначала равен нулю).

Шаг 2. Вычислить и запомнить коэффициенты дифференциальной ошибки

,

где , а сумма

определяет коэффициент ошибки для случайных величин с единичной дисперсией, причем знаком тильды (~) отмечены уровни квантования и пороговые уровни, относящиеся к таким величинам.

Шаг 3. Отвести один разряд той компоненте, для которой произведение имеет наибольшую величину; увеличить на единицу и .

Шаг 4. Если , закончить процедуру; в противном случае повторить шаг 3.

Коэффициенты дифференциальной ошибки , необходимые для данного алгоритма, можно вычислить заранее и хранить в виде таблицы из чисел. В этом случае алгоритм сводится к последовательным операциям распределения разрядов. Достоинства алгоритма состоят в том, что здесь не требуется громоздких вычислений, а также отсутствуют ошибки аппроксимации и округления, характерные для алгоритма с вычислением логарифмов дисперсий. Кроме того, метод минимальной ошибки опирается на модель плотности вероятности и поэтому его можно эффективно применять для распределения разрядов при неодинаковых плотностях вероятностей отсчетов.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• квантование изображений , квантование скалярных величин ,
• обработка квантованных величин ,
• квантование одноцветных изображений , ложные контуры ,
• квантование цветных изображений , шум квантования ,
• Дискретизация
• Бета-кодировщик
• Цветовое квантование
• Биннинг данных
• Дискретность
• Ошибка дискретизации
• Квантование ( обработка изображений )
• Постеризация
• Импульсно-кодовая модуляция
• Квантиль
• Разбавление регрессии - смещение оценок параметров, вызванное такими ошибками, как квантование в объясняющей или независимой переменной.

Надеюсь, эта статья об увлекательном мире квантование векторных величин, была вам интересна и не так сложна для восприятия как могло показаться. Желаю вам бесконечной удачи в ваших начинаниях, будьте свободными от ограничений восприятия и позвольте себе делать больше активности в изученном направлени . Надеюсь, что теперь ты понял что такое квантование векторных величин и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений