Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое функция уолша, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое функция уолша, преобразование уолша-адамара, преобразование уолша, , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.
Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.
В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщенный ряд Фурье.
Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.
Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введем безразмерное время . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли () и по Адамару ( ).
Относительно момента функции Уолша можно разделить на четные и нечетные. Они обозначаются как и соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:
Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:
Так может быть сформирована матрица Адамара длины :
Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.
В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путем перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.
| Номер по Адамару | Двоичная форма | Перестановка бит | Преобразование из кода Грея | Номер по Уолшу |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 00 | 00 | 00 | 0 |
| 1 | 01 | 10 | 11 | 3 |
| 2 | 10 | 01 | 01 | 1 |
| 3 | 11 | 11 | 10 | 2 |
В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:
Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:
Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда
Произведение двух функций Уолша дает функцию Уолша:
где — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда
В результате умножения получим:
Является частным случаем обобщенного преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.
Обобщенный ряд Фурье представляется формулой
где это одна из базисных функций, а — коэффициент.
Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид
В дискретной форме формула запишется следующим образом:
Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:
Следует учитывать периодический характер функций Уолша.
Существует также быстрое преобразование Уолша . Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — Адамара . Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхности . Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функций , отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентами .
преобразование уолша-адамара является несинусоидальным, ортогональным методом преобразования, который разлагает сигнал на набор основных функций. Эти основные функции являются функциями Уолша, которые являются прямоугольными или прямоугольными волнами со значениями +1 или –1. Преобразования Уолша-Адамара также известны как Адамара (см. hadamard функция в программном обеспечении MATLAB), Уолш или преобразования Фурье Уолша.
Первые восемь функций Уолша имеют эти значения:
Преобразование Уолша-Адамара возвращает sequency значения. Sequency является более обобщенным понятием частоты и задан как одна половина среднего количества нулевых пересечений на интервал единицы времени. Каждая функция Уолша имеет уникальное sequency значение. Можно использовать возвращенные sequency значения, чтобы оценить частоты сигнала в исходном сигнале.
Три различных схемы упорядоченного расположения используются, чтобы сохранить функции Уолша: sequency, Адамар, и двухместный. Упорядоченное расположение Sequency, которое используется в приложениях обработки сигналов, имеет функции Уолша в порядке, показанном в приведенной выше таблице. Адамар, заказывающий, который используется в приложениях средств управления, располагает их как 0, 4, 6, 2, 3, 7, 5, 1. Упорядоченное расположение двухместного или кода Грея, которое используется в математике, располагает их как 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4.
Преобразование Уолша-Адамара используется во многих приложениях, таких как обработка изображений, речевая обработка, фильтрация и анализ спектра мощности. Это очень полезно для сокращения требований устройства хранения данных пропускной способности и анализа спектра распространения. Как БПФ, Преобразование Уолша-Адамара имеет быструю версию, быстрое Преобразование Уолша-Адамара (fwht). По сравнению с БПФ FWHT требует меньшего пространства памяти и быстрее, чтобы вычислить, потому что это использует только действительные сложения и вычитания, в то время как БПФ требует комплексных чисел. FWHT может представлять сигналы резкими разрывами более точно с помощью меньшего количества коэффициентов, чем БПФ. И FWHT и обратный FWHT (ifwht) симметричны и таким образом, используют идентичные процессы вычисления. FWHT и IFWHT для x сигнала (t) длины N заданы как:
где i = 0,1, …, N – 1 и WAL (n, i) является функциями Уолша. Подобно алгоритму Cooley-Tukey для БПФ элементы N разложены на два набора N/2 элементы, которые затем объединены с помощью структуры бабочки, чтобы сформировать FWHT. Для изображений, где вход обычно является 2D сигналом, коэффициенты FWHT вычисляются первой оценкой через строки и затем оценкой вниз столбцы.
Для следующего простого сигнала получившийся FWHT показывает тот x был создан с помощью функций Уолша с sequency значениями 0, 1, 3, и 6, которые являются ненулевыми индексами преобразованного x. Обратный FWHT воссоздает исходный сигнал.
Исследование, описанное в статье про функция уолша, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое функция уолша, преобразование уолша-адамара, преобразование уолша, и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про функция уолша
элементов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Группа из 
. Тогда функция Уолша под номером k обозначается как 
. Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли (
) и по Адамару ( 
).
функции Уолша можно разделить на четные и нечетные. Они обозначаются как 
и 
соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:
— сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
это одна из базисных функций, а 
— коэффициент.
Комментарии