Функция Уолша, Преобразование Уолша-Адамара кратко

Графики первых четырех функций Уолша

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из ${\displaystyle 2^{n}}$ элементов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщенный ряд Фурье.

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.

Обозначение

Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введем безразмерное время . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли (${\displaystyle \operatorname {pal} (p,\theta )}$) и по Адамару ( ).

Относительно момента функции Уолша можно разделить на четные и нечетные. Они обозначаются как ${\displaystyle \operatorname {cal} (k,\theta )}$ и соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:

Формирование функций Уолша

Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:

Так может быть сформирована матрица Адамара длины :

Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.

В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путем перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.

Пример

В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:

Свойства функций Уолша

1. Ортогональность

Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:

Пример

Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда

2. Мультипликативность

Произведение двух функций Уолша дает функцию Уолша:

где — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.

Пример

Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда

В результате умножения получим:

преобразование уолша — Адамара

Является частным случаем обобщенного преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщенный ряд Фурье представляется формулой

где это одна из базисных функций, а — коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

Определить коэффициенты ${\displaystyle c_{i}}$ можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

Существует также быстрое преобразование Уолша . Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — Адамара . Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхности . Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функций , отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентами .