Свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) кратко

Привет, сегодня поговорим про свойства дискретного преобразования фурье , обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое свойства дискретного преобразования фурье , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка сигналов.

(1)

где - оператор ДПФ, а - оператор обратного ДПФ. Везде далее в этой статье считается что

Свойство 1 ДПФ. Линейность

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если то спектр равен:

(2)

где и - спектры сигналов и соответственно.

(3)

Свойство 2 ДПФ. Временной сдвиг

Пусть сигнал имеет спектр . Если сдвинуть сигнал циклически на отсчетов, т.е., то спектр сдвинутого сигнала равен:

(4)

Введем замену переменной , тогда и выражение (4) можно переписать:

(5)

Таким образом циклический сдвиг сигнала на приводит к повороту фазового спектра, а амплитудный спектр не меняется.

Рисунок 1: Пример циклического сдвига сигнала

Красным цветом на верхнем графике показан исходный сигнал , на среднем со сдвигом отсчета (с опережением), а на нижнем графике сдвинутый на отсчета (с запаздыванием). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Видно что при циклическом сдвиге при опережении первые отчетов переносятся из начала в конец выборки, а при запаздывании последние отчетов переносятся из конца выборки в начало.

Свойство 3. ДПФ циклической свертки сигналов

Пусть сигнал есть результат циклической свертки сигналов и :

(6)

Рассчитаем спектр сигнала :

(7)

(8)

Свойство 4 ДПФ. Спектр произведения двух сигналов

Пусть сигнал равен произведению сигналов и , причем и - спектры сигналов и соответственно.

(9)

Подставим в выражение (9) выражения для сигнала в виде ОДПФ от спектра :

(10)

(11)

Свойство 5 ДПФ. Свойство частотного сдвига

Пусть сигнал имеет спектр . Произведем циклический сдвиг спектра и рассмотрим ОДПФ, тогда:

(12)

Свойство 6 ДПФ. Инверсия спектра действительного сигнала

Рисунок 2: Инверсия спектра сигнала

Если - спектр сигнала , то инверсный спектр равен:

(13)

На рисунке 3 показано, что инверсия спектра соответствует циклическому частотному сдвигу спектра на спектральный отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.

Рисунок 3: Инверсия спектра действительного сигнала за счет частотного сдвига

(14)

Таким образом, для инверсии спектра сигнала достаточно каждый второй отсчет сигнала умножить на минус единицу. При этом умножение на минус единицу четных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра вправо на спектральных отсчетов, а умножение нечетных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра влево на спектральных отсчетов.

Свойство двойственности ДПФ

Мы рассмотрели основные свойства ДПФ. У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности, которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для сигнала так и для спектра. Например можно рассмотреть свойство 3 ДПФ, которое гласит: спектр циклической свертки сигналов есть произведение спектров. В то же время это можно сформулировать и в обратную сторону: спектр произведения сигналов есть циклическая свертка спектров этих сигналов (свойство 4). Аналогично можно переформулировать свойство 5 из свойства 3: сдвиг во времени приводит к умножения спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра. Используя свойство двойственности, можно предположить опираясь на свойство 6, что умножение каждого второго спектрального отсчета на минус единицу произведет инверсию сигнала согласно (13). Действительно из рисунка 3 следует, что инверсия согласно (13) будет при сдвиге сигнала или спектра на отсчетов. При этом из выражения (5) спектр сигнала с циклическим сдвигом на равен:

(15)

Выводы

Надеюсь, эта статья про свойства дискретного преобразования фурье , была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое свойства дискретного преобразования фурье и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка сигналов