Спектральный анализ на ограниченном интервале времени. Оконные функции

Введение

Спектр ограниченного во времени сигнала

ДПФ ограниченного во времени сигнала. Использование оконного сглаживания

Коэффициент ослабления оконной функции

Основные частотные характеристики спектра оконной функции

Основные свойства оконной функции и их характеристики

Выводы

В основе цифрового спектрального анализа лежит аппарат дискретного преобразования Фурье (ДПФ). При этом ДПФ имеет высокоэффективные быстрые алгоритмы (БПФ). Однако при использовании ДПФ часто возникают трудности обусловленные конечностью интервала обработки. В данной статье мы поставим цель проанализировать эффекты возникающие при ограничении интервала анализа. Предполагается, что читатель предварительно изучил преобразование Фурье и его свойства, а также понимает смысл ДПФ.

Пусть имеется сигнал который бесконечен во времени. В простейшем случае мы можем задать этот сигнал как гармоническое колебание с частотой . Преобразование Фурье этого сигнала будет представлять собой дельта-импульс на частоте сигнала, т.е. . Исходный сигнал и его спектр показаны на рисунке синим цветом. На практике мы не можем произвести расчет спектра путем численного интегрирования по всей оси времени (разумеется за исключением когда мы можем получить аналитическое выражение для спектра сигнала, как в приведенном примере), поэтому мы зафиксируем интервал времени  на котором будем рассчитывать спектр сигнала. Таким образом мы получим сигнал , который совпадает с исходным на интервале времени , но вне интервала наблюдения считаем. Математически,  можно представить как произведение исходного бесконечного сигнала  и прямоугольного импульса  длительностью, . Спектр же сигнала , согласно свойствам преобразования Фурье будет равен свертке спектров исходного сигнала и спектра  прямоугольного импульса :

В выражении (1) было использовано фильтрующее свойство дельта-функции. Сигнал  и его спектр показаны на рисунке 1 красным цветом.

Таким образом, вместо дельта-импульса спектр  превратился в функцию типа , (спектр прямоугольного импульса функции ) причем ширина лепестка зависит от длительности интервала анализа, как это наглядно показано на рисунке 2.

Если увеличивать интервал анализа  до бесконечности, то спектр будет сужаться и стремиться к дельта-импульсу. Прямоугольный импульс  назовем оконной функцией.

Теперь рассмотрим случай ДПФ. ДПФ ставит в соответствие  отсчетам сигнала  отсчетов спектра, взятых на одном периоде повторения спектра:  Отсчеты сигнала, взятые через равные промежутки времени  где  - частота дискретизации (рад/с). Таким образом интервал анализа, тогда спектральные отсчеты берутся через интервал Ширина главного лепестка спектра (смотри рисунок 1) равна  тогда можно рассмотреть два случая. Первый случай частота сигнала совпадает с -ой частотой спектра (верхний график рисунка 3). При дискретизации получим только отсчет на частоте  по амплитуде соответствующий амплитуде сигнала, остальные спектральные отсчеты будут равны нулю, так как моменты дискретизации спектра совпадут с нулями спектра оконной функции. Второй случай когда частота  не совпадает ни с одной частотой из сетки спектральных отсчетов (нижний график рисунка 3). В этом случае спектр сигнала «размывается». Вместо одного спектрального отсчета получаем множество отсчетов, так как дискретизация производится уже не в нулях спектра функции окна, и все боковые лепестки проявляются в спектре. Кроме того амплитуда спектральных отсчетов также уменьшается.

Совпадение частоты с сеткой спектральных отсчетов будет в том случае если на интервале обработки укладывается целое количество периодов сигнала. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В противном случае спектр «размажется».

Размазывание спектра негативный эффект, с которым необходимо бороться. Покажем это на примере. Пусть имеется два гармонических сигнала на частотах  и , причем амплитуда сигнала на частоте  много меньше амплитуды сигнала на частоте . Ограничение интервала анализа приведет к тому, что спектры «размажутся», и сигнал на частоте  будет не заметен под боковым лепестком сигнала с частотой , как это показано на рисунке 4.

Очевидно, для того чтобы обнаружить слабый сигнал необходимо устранить боковые лепестки в спектре, которые возникают когда мы ограничили сигнал прямоугольным окном. Значит чтобы устранить эти лепестки необходимо устранить их в спектре оконной функции , то есть надо изменить оконную функцию, а именно сделать ее более гладкой, как это показано на рисунке 5.

При гладкой оконной функции в спектре не наблюдается боковых лепестков (или их уровень существенно понижается), однако имеет место расширение основного лепестка спектра по сравнению с прямоугольным окном . Таким образом мы вроде бы побороли боковые лепестки, и смогли обнаружить слабые сигналы (смотри рисунок 6), которые раньше терялись в боковых лепестках, но заплатили за это расширением основного лепестка.

Необходимо отметить, что чем больше подавление боковых лепестков спектра оконной функции, тем шире получается основной лепесток. Данное противоречие привело к разработке большого количества оконных функций с различным подавлением боковых лепестков и различной шириной главного лепестка. Основные распространенные окна будут рассмотрены ниже.

Мы рассмотрим еще одно свойство оконной функции, а именно коэффициент ослабления . Для пояснения коэффициента ослабления  рассмотрим постоянную составляющую  оконной функции на интервале :

В случае прямоугольного окна

Коэффициентом ослабления  называют отношение постоянной составляющей  заданной функции окна, к постоянной составляющей прямоугольного окна :

Смысл коэффициента ослабления заключается в том, что амплитуды всех спектральных составляющих после умножения на оконную функцию уменьшаются в  раз по сравнению с прямоугольным окном. Коэффициент ослабления выражают в логарифмической шкале:

В случае цифрового спектрального анализа имеется  отсчетов оконной функции взятых через промежуток  Тогда  интеграл в выражении (4) заменяется на сумму:

Для того, чтобы учесть коэффициент ослабления после ДПФ необходимо каждый спектральный отсчет поделить на.

Обобщим основные частотные характеристики спектра оконной функции, позволяющие сравнивать различные окна между собой. Для этого рассмотрим нормированную амплитудно-частотную характеристику  оконной функции, представленную на рисунке 7.

Нормирование амплитуды производится для учета коэффициента ослабления : . Таким образом все АЧХ будут иметь максимум равный единице (0 дБ) на нулевой частоте. Поскольку ширина главного лепестка зависит от длительности окна во времени (смотри рисунок 2), то введена нормировка частоты:

Таким образом, форма нормированной АЧХ оконной функции не будет меняться при изменении длительности окна. Тогда можно ввести следующие нормированные параметры:

1. Нормированная ширина главного лепестка АЧХ по уровню 0,5 (-3 дБ)  определяется как нормированная полоса при которой .

2. Нормированная ширина главного лепестка АЧХ по нулевому уровню . Согласно рисунку 5.

3. Максимальный уровень боковых лепестков .

Можно заметить, что  прямоугольного окна равна 2. Тогда можно ввести параметр, показывающий во сколько раз нормированная ширина главного лепестка АЧХ по нулевому уровню  заданного окна шире чем прямоугольного окна. Обозначим этот параметр как . В зависимости от параметра  окна делят на окна высокого разрешения и окна низкого разрешения .

В таблице 1 приведены выражения для некоторых оконных функций.

Таблица 1. Выражения для некоторых оконных функций

Свойства оконных функций приведенных в таблице 1 приведены в таблице 2.

Таблица 2. Свойства некоторых оконных функций

Просмотреть вид приведенных оконных функций и их частотных характеристик можно здесь.

Таким образом, был рассмотрен вопрос вычисления спектра сигнала при наблюдении на ограниченном временном отрезке. Показано, что ограничение времени анализа равносильно использованию прямоугольной оконной функции, частотная характеристика которой имеет максимальные боковые лепестки. Приведен механизм снижения уровня боковых лепестков путем сглаживания окном, что в свою очередь, ухудшает разрешение спектрального анализа из-за расширения основного лепестка. Показаны основные свойства частотной характеристики оконных функций, а также приведены выражения для наиболее распространенных окон.