Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Полифазное быстрое преобразование Фурье- БПФ (polyphase FFT) кратко

Лекция



Привет, сегодня поговорим про полифазное бпф, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое полифазное бпф, polyphase fft , полифазное быстрое преобразование фурье , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка сигналов.

Введение

Большое количество публикаций на зарубежных сайтах по теме полифазного БПФ, сопровождается очень скудной информацией в литературе. Между тем, интерес к этой теме подогревается якобы «супер разрешением» по частоте при использовании полифазного БПФ по сравнению с «классическим» преобразованием. В данной статье мы попробуем разобраться с этим «супер разрешением» и получить целостную картину алгоритма.

В цифровой обработке сигналов, без всякого сомнения, основным инструментом анализа является быстрое преобразование Фурье (БПФ). Алгоритм находит применение практически во всех областях науки и техники. Простейшим физическим примером преобразования Фурье может служить восприятие звука человеком. Всякий раз, когда мы слышим звук, ушная раковина автоматически выполняет сложное вычисление, проделать которое человек способен лишь после нескольких лет обучения математике. Суть явления заключается в том, что слуховой орган представляет звук в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты, а мозг превращает получаемую информацию в воспринимаемый звук.

В вопросах радиотехники алгоритмы БПФ находят применение в свертке и при проектировании цифровых корреляторов, используется при обработке изображений, а также в аудио- и видеотехнике (эквалайзеры, спектроанализаторы, вокодеры). Кроме того методы БПФ лежат в основе всевозможных алгоритмов шифрования и сжатия данных (jpeg, mpeg4, mp3), а также при работе с длинными числами. БПФ используется в гидроакустических системах для обнаружения надводных кораблей и подводных лодок, в радиолокационных системах для получения информации о скорости, направлении полета и расстоянии до целей.

Различные модули БПФ имеются в наличии практически в любом пакете прикладных программ, предназначенных для научных исследований, например в Maple, MATLAB, GNU Octave, MathCAD, Mathematica. Специалист должен понимать процесс преобразования Фурье и уметь грамотно его применять для решения поставленных задач, где это необходимо.

Первая программная реализация алгоритма БПФ была осуществлена в начале 60-х годов XX века в вычислительном центре IBM Джоном Кули под руководством Джона Тьюки. В 1965 году ими же была опубликована статья, посвященная алгоритму быстрого преобразования Фурье. Данный метод лег в основу многих алгоритмов БПФ и получил название по фамилиям разработчиков – Cooley-Tukey. С тех пор было выпущено достаточно много различных публикаций и монографий, в которых разрабатываются и описываются различные методы и алгоритмы БПФ, снижающие количество выполняемых операций, уменьшающие энергетические затраты и ресурсы и т.д. На сегодняшний день БПФ – это название не одного, а большого ряда различных алгоритмов, предназначенных для быстрого вычисления преобразования Фурье.

Схема полифазного БПФ

полифазное бпф выполняется как это показано на рисунке 1.

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)
Рисунок 1: Схема полифазного БПФ

Исходный сигнал Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) умножается на весовое окно Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) , в результате получается сигнал Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT). Этот сигнал делится на Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) равных частей по Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)отсчетов, формируются «укороченные» сигналы Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Эти «укороченные» сигналы почленно складываются и формируется один суммарный сигнал
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(1)
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(2)

Рассмотрим подробнее спектр от всего взвешенного сигнала Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)длиной Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) отсчетов:Далее берется Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) – точечное БПФ от Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) и получается спектр Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)
Представим в выражении (2) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) в виде суммы не пересекающихся во времени «укороченных» выборокПолифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), тогда:
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(3)
Учтем что Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), тогда
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(4)
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(5)
Выражение (3) представляет собой Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)— точечное ДПФ, а нам нужно Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) – точечное. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Рассмотрим только Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) – ые отсчеты спектра Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), тогда (3) c учетом (4) :
Можно заметить что:
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(6)
Тогда
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(7)
Учтем (1) тогда (7) перепишем к виду:
Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)(8)
Таким образом можно сделать вывод: спектр на выходе полифазного БПФ есть прореженный по частоте в Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) раз спектр исходного взвешенного сигнала. Данное утверждение экспериментально проверено и оно верно. Пример такого прореживания приведен на рисунке 2.

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)
Рисунок 2: Прореживание по частоте L = 4, M = 16

При этом мы получаем спектр длины Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), с хорошим разрешением по частоте поскольку применялось оконное сглаживание, а из него выбираем только Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) отсчетов путем прореживания по частоте, Для этого требуется только Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) – точечное БПФ.

Возможная потеря гармоник при полифазном БПФ. Правильный выбор окна сглаживания

Поскольку при полифазном БПФ используется прореживание по частоте, то возможна ситуация, когда при прореживании будут потеряны полезные гармоники сигнала. Например, если сигнал будет иметь вид как показано на рисунке 3, то тогда, очевидно, мы выбирая каждый Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) – ый отсчет «перепрыгнем» гармонику и не заметим ее в спектре.

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)
Рисунок 3: Потеря гармоник при прореживании по частоте

Высокое разрешение по частоте с нами играет злую шутку. Для того чтобы спектральные гармоники не «потерялись» в результате прореживания по времени весовое окно Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) должно быть таким, чтобы обеспечить расширение спектрального пика до Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)отсчетов. В этом случае мы не сможем его перепрыгнуть выбирая каждый Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)– ый спектральный отсчет. Это наглядно показано на рисунке 4. Рисунок 4a показывает спектр Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)исходного сигнала Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) без оконной обработки, рисунок 4б — результат весового сглаживанияПолифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), острые пики стали широкими причем один пик «размазывается» на Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) отсчетов, и наконец на рисунке 4в — полифазное БПФ без потери гармоник.

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)
Рисунок 4: Правильный выбор окна сглаживания не позволяет потерять гармоники

Примеры использования полифазного БПФ

Проиллюстрируем все вышесказанное экспериментально. Возьмем исходный сигналПолифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT). Частоту дискретизации возьмем Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, количество исходных отсчетов Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT), Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Выберем Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT).
Результаты эксперимента приведены на рисунке 5. Синие спектры — результат полифазного БПФ, красные 1024 точечные БПФ со сглаживающим окном Хэмминга.

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)

Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)

Рисунок 5: Применение полифазного БПФ

Рисунок 5а. Частоты Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Окно Хемминга как при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), так и при полифазном БПФ на 4096 точек. Мы попадаем точно на гармоники и видим увеличение разрешения в спектре. Этот пример показывает насколько лучше становится разрешение в спектре при использовании полифазного БПФ. При этом вычислительные затраты примерно одинаковые как на 1024 точечное БПФ без полифазной обработки, так и на полифазное БПФ на 4096 точек (Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)).

Рисунок 5б. Частоты Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Окно Хемминга как при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), так и при полифазном БПФ на 4096 точек. Пример того как использование полифазного БПФ приводит к потере гармоники из-за неправильно выбранной ширины сглаживающего окна (окно Хемминга слишком узкое).

Рисунок 5в. Частоты Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и окно Блэкмана при полифазном БПФ на 4096 точек. Видно что окно Блэкмана гораздо лучше подходит для полифазного БПФ, так как потерянная гармоника гораздо выше чем при окне Хемминга, но все равно окно Блэкмана недостаточно широкое, так как уровень гармоники на 20 дБ ниже положенного.

Рисунок 5г. Частоты Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и окно Блэкмана-Харриса при полифазном БПФ на 4096 точек. Видно что расширение сглаживающего спектрального окна (Блэкмана-Харриса « окно низкого разрешения) увеличивает амплитуду «потерянной» гармоники, но все равно недостаточно.

Рисунок 5д. Частоты Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и максимально-плоское окно при полифазном БПФ на 4096 точек. Уровень потерянной гармоники незначительно ниже реального уровня (примерно на 2...3 дБ). Но наблюдается расширение основного пика при полифазной обработке.

Рисунок 5е. Частоты Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц, Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и максимально-плоское окно при полифазном БПФ на 4096 точек. Показана возможность различения рядом стоящих сигналов, тогда как при обычном БПФ они сливаются.

Выводы

Итак можно сделать вывод. Полифазное БПФ существенно снижает вычислительные затраты, заменяя Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT)- точечное БПФ Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) - точечным, или же при тех же вычислительных затратах позволяет обеспечить хорошее разрешение спектрального анализа. Увеличение разрешения анализа обеспечивается полифазной обработкой сигнала на длительном интервале времени. Так как длина исходного сигнала при полифазной обработке в Полифазное быстрое преобразование Фурье-  БПФ (polyphase FFT) раз длиннее, то и разрешение выше.
Алгоритм обладает недостатками:
1. Чувствительность к выбору сглаживающего окна. Неправильный выбор окна приводит к потерям гармоник сигнала. Это необходимо учитывать при использовании полифазного БПФ.
2. Полифазное БПФ - преобразование с потерями, и для него отсутствует обратное преобразование.
3. Для полифазного БПФ требуется длинная исходная выборка.
Область применения полифазного БПФ — спектральные анализаторы, когда не предъявляется жестких требований к измерениям уровня сигнала. Там где потеря гармоники недопустимо применять полифазное БПФ нужно с осторожностью.

См. Также

Алгоритмы, связанные с БПФ:

  • Алгоритм Кули – Тьюки БПФ
  • Алгоритм БПФ с простым коэффициентом
  • Алгоритм БПФ Брууна
  • Алгоритм БПФ Рейдера
  • Алгоритм БПФ Блюстейна
  • Алгоритм Герцеля - вычисляет отдельные члены дискретного преобразования Фурье

Реализации БПФ:

  • ALGLIB - библиотека C ++ и C # с реальной / сложной реализацией БПФ.
  • FFTW «Самое быстрое преобразование Фурье на Западе» - библиотека C для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) в одном или нескольких измерениях.
  • FFTS - Самое быстрое преобразование Фурье на юге.
  • FFTPACK - еще одна библиотека Fortran FFT (общественное достояние)
  • Интегрированные примитивы производительности Intel
  • Библиотека ядра Intel Math
  • cuFFT - БПФ для CUDA с ускорением на GPU

Другое:

  • Overlap add / Overlap save - эффективные методы свертки с использованием БПФ для длинных сигналов
  • Алгоритм Одлыжко – Шенхаге применяет БПФ к конечным рядам Дирихле .
  • Алгоритм Шенхаге – Штрассена - асимптотически быстрый алгоритм умножения для больших целых чисел
  • Диаграмма бабочки - диаграмма, используемая для описания БПФ.
  • Спектральная музыка (включает применение анализа DFT к музыкальной композиции)
  • Анализатор спектра - любое из нескольких устройств, выполняющих анализ спектра, часто с помощью DFT.
  • Временные ряды
  • Быстрое преобразование Уолша – Адамара
  • Обобщенный распределительный закон
  • Многомерное преобразование
  • Многомерная дискретная свертка
  • Матрица ДПФ

Надеюсь, эта статья про полифазное бпф, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое полифазное бпф, polyphase fft , полифазное быстрое преобразование фурье и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка сигналов

создано: 2015-05-23
обновлено: 2021-06-11
132585



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Цифровая обработка сигналов

Термины: Цифровая обработка сигналов