Свёртка (математический анализ) кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое свёртка ма тический анализ , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое свёртка ма тический анализ , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка сигналов.

Свертка фу́нкций — операция в функциональном анализе.

По определению, свертка — это математическая операция, примененная к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Понятие свертки обобщается для функций, определенных на группах, а также мер.

Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отраженной и сдвинутой копией другой.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате дает треугольный импульс.

Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Свертка функций – это важнейшее математическое понятие, которое используется почти во всех областях науки и техники, в том числе, оно широко применяется для оценки систем изображения и для процессинга цифровых изображений. Свертка двух функций – это математическая операция двух функций h(x) и f(x), порождающая третью функцию g(x), которая может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных, например, после операций осреднения или сглаживания. Свертка h(x) и f(x) записывается как h∗f (символ звездочки). Для непрерывных функций она определяется как интеграл от произведения двух функций после того, как одна реверсируется и смещается. По существу, это особый вид интегрального преобразования:

(5.9)

Операция свертки иллюстрируется на рис. 5.8 для двух функций, заданных в виде прямоугольных импульсов разной длительности.

Рис. 5.8. Пример свертки двух непрерывных функций h(x) и f(x). Более темным цветом показана площадь, равная интегралу (5.9) при разных значениях x (адаптировано из [4])

Одномерная дискретная свертка двух дискретных функций h(i) и f(i) длиной N определяется как

(5.10)

С точки зрения вычислительного процесса более легким и быстрым способом расчета свертки двух функций является использование теоремы свертки. В этой теореме доказывается, что свертка двух функций эквивалентна перемножению их преобразований Фурье в частотном пространстве. Таким образом, уравнение свертки (5.9) можно выразить в виде

(5.11)

где H(u) и F(u) – преобразование Фурье функций h(x) и f(x) в частотном пространстве.

Содержание

• 1Свертка функций
  • 1.1Свойства
• 2Свертка на группах
• 3Свертка мер
  • 3.1Свойства
  • 3.2Свертка распределений

Свертка функций

Пусть — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда их сверткой называется функция , определенная формулой

В частности, при формула принимает вид:

Свертка определена при почти всех и интегрируема.

Впервые интегралы, представляющие собой свертку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свертка появляется у Лапласа,Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свертки функций при помощи звездочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].

Свойства

• Коммутативность:

.

• Ассоциативность:

.

• Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

.

• Правило дифференцирования:

,

где обозначает производную функции по любой переменной.

• Свойство Фурье-образа:

,

где обозначает преобразование Фурье функции .

Свертка на группах

Пусть — группа Ли, оснащенная мерой Хаара , и — две функции, определенные на . Тогда их сверткой называется функция

.

Свертка мер

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их сверткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

Свойства

• Пусть абсолютно непрерывны относительно меры Лебега . Обозначим их производные Радона — Никодима:

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и ее производная Радона — Никодима имеет вид

.

• Если — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

Свертка распределений

Если — распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и ее плотность имеет вид:

.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Автокорреляционная функция
• Преобразование Фурье
• Свертка последовательностей

В заключение, эта статья об свёртка ма тический анализ подчеркивает важность того что вы тут, расширяете ваше сознание, знания, навыки и умения. Надеюсь, что теперь ты понял что такое свёртка ма тический анализ и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка сигналов

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про свёртка ма тический анализ