Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое свёртка ма тический анализ , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое свёртка ма тический анализ , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка сигналов.
Свертка фу́нкций — операция в функциональном анализе.
По определению, свертка — это математическая операция, примененная к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.
Понятие свертки обобщается для функций, определенных на группах, а также мер.
Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отраженной и сдвинутой копией другой.
Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате дает треугольный импульс.
Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи
Свертка функций – это важнейшее математическое понятие, которое используется почти во всех областях науки и техники, в том числе, оно широко применяется для оценки систем изображения и для процессинга цифровых изображений. Свертка двух функций – это математическая операция двух функций h(x) и f(x), порождающая третью функцию g(x), которая может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных, например, после операций осреднения или сглаживания. Свертка h(x) и f(x) записывается как h∗f (символ звездочки). Для непрерывных функций она определяется как интеграл от произведения двух функций после того, как одна реверсируется и смещается. По существу, это особый вид интегрального преобразования: 
(5.9)
Операция свертки иллюстрируется на рис. 5.8 для двух функций, заданных в виде прямоугольных импульсов разной длительности.
Рис. 5.8. Пример свертки двух непрерывных функций h(x) и f(x). Более темным цветом показана площадь, равная интегралу (5.9) при разных значениях x (адаптировано из [4])
Одномерная дискретная свертка двух дискретных функций h(i) и f(i) длиной N определяется как
(5.10)
С точки зрения вычислительного процесса более легким и быстрым способом расчета свертки двух функций является использование теоремы свертки. В этой теореме доказывается, что свертка двух функций эквивалентна перемножению их преобразований Фурье в частотном пространстве. Таким образом, уравнение свертки (5.9) можно выразить в виде
(5.11)
где H(u) и F(u) – преобразование Фурье функций h(x) и f(x) в частотном пространстве.
Пусть 
— две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве 
. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда их сверткой называется функция 
, определенная формулой
 |
 |
В частности, при 
формула принимает вид:
|
 |
Свертка 
определена при почти всех 
и интегрируема.
Впервые интегралы, представляющие собой свертку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свертка появляется у Лапласа,Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свертки функций при помощи звездочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].
.
.
.
,
где 
обозначает производную функции 
по любой переменной.
,
где 
обозначает преобразование Фурье функции .
Пусть 
— группа Ли, оснащенная мерой Хаара 
, и 
— две функции, определенные на . Тогда их сверткой называется функция
.
Пусть есть борелевское пространство 
и две меры 
. Тогда их сверткой называется мера
,
где 
обозначает произведение мер 
и 
.
абсолютно непрерывны относительно меры Лебега . Обозначим их производные Радона — Никодима:
.
Тогда 
также абсолютно непрерывна относительно , и ее производная Радона — Никодима 
имеет вид
.
— вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.Если 
— распределения двух независимых случайных величин 
и 
, то
,
где 
— распределение суммы 
. В частности, если 
абсолютно непрерывны и имеют плотности 
, то случайная величина также абсолютно непрерывна и ее плотность имеет вид:
.
В заключение, эта статья об свёртка ма тический анализ подчеркивает важность того что вы тут, расширяете ваше сознание, знания, навыки и умения. Надеюсь, что теперь ты понял что такое свёртка ма тический анализ и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка сигналов
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про свёртка ма тический анализ
Комментарии