Особенности структуры множества Парето - Эджворта; угол предпочтения и геометрическая интерпретация кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое Особенности структуры множества Парето - Эджворта; угол предпочтения и геометрическая интерпретация, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое Особенности структуры множества Парето - Эджворта; угол предпочтения и геометрическая интерпретация , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория принятия решений.

Геометрические соображения позволяют кратко сформулировать алгоритм сужения множества альтернатив X, продемонстрированный выше на примерах: следует отбросить все доминируемые альтернативы, оставив лишь доминирующие. Прежде всего, нужно убедиться, что полученное множество РАХ) не окажется пустым.

Обратите внимание!

Для того чтобы фронт Парето (т.с. образ РЛХ)) нс был пустым множеством, достаточно выполнения двух условий:

• • множество У должно быть компактно (замкнуто и ограничено);
• • должны существовать ненулевой вектор ?, все компоненты которого неотрицательны, и число К такое, что для всех у из множества У выполнено: У у е У: 5 • у < К.

Рис. 93. Углы предпочтения для точек У4 и У6 дискретного множества возможных оценок У в двумерном критериальном пространстве 9?“ и множество Парето — Эджворта

предпочтения с вершиной в точке Уе содержит точку У4 (см. рис. 9.3). Значит, альтернативу х6, имеющую оценку Уб, можно исключить из множества Парето — Эджворта.

Оставшиеся после исключения всех доминируемых альтернатив точки У,, У2, У4 и У8 представляют собой образ множества Парето — Эджворта Р^Х), состоящего из альтернатив хр х2, х4 и х8 (см. рис. 9.3).

Построение множества Парето — Эджворта в случае четырех критериев рассмотрим на экономическом примере, касающемся изучения деятельности некоторой фирмы. Использовать угол предпочтения здесь не удается, поскольку при наличии четырех критериев строить в четырехмерном пространстве нужно уже не угол предпочтения, а его многомерный аналог - конус предпочтения.

Пример: построение множества Парето — Эджворта при наличии четырех критериев. Анализ качества выпускаемой фирмой продукции показал, что в последние годы товар фирмы стал уступать аналогичным товарам конкурентов. Фирма исследовала факторы, определяющие конкурентоспособность фирмы, чтобы выяснить, какой из них стал отрицательно влиять на конкурентные возможности фирмы, исследовались технология производства, его организационный уровень, рекламации п предложения по выпускаемой продукции, тенденции научно-технического прогресса в области производства данной продукции, качество поставляемых на фирму сырья, материалов, комплектующих изделий, информации.

Оказалось, что технология, организация производства и труда отвечают требованиям конкурентоспособности. Болес подробный анализ выявил самое «узкое место». Этим компонентом - фактором, снижающим конкурентоспособность фирмы, оказалось ключевое комплектующее изделие к товару.

Потенциалом и временем для самостоятельного производства подобных изделий необходимого класса и качества фирма не располагает. Поэтому на втором этапе анализа был изучен рынок изделий данного класса и были определены три лучших качественных варианта, выпускаемых другими фирмами, способных за счет этого комплектующего изделия обеспечить высокое качество и конкурентоспособность выпускаемого товара. Важнейшие параметры альтернативных вариантов решения по повышению качества товара приведены в табл. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 9.1. Требуется выбрать из четырех альтернатив Парето-оптимальные варианты решения (включая вариант 0 — оставить все как есть, при котором потери от брака составляют 4000 у.е. в год).

Таблица 9.1

Параметры альтернативных вариантов решения по повышению качества товара

Для решения достаточно сопоставить попарно четыре вектора, включая три столбца табл. 9.1, и вектор оценок «нулевого» варианта (в котором ничего не менять не надо), имеющий показатели соответственно 100 (цена), 0 (затраты), 4000 (потери) и 1,00. При сравнении нужно учесть, что второй и третий показатели (затраты и прогноз потерь) в соответствии с замечанием в начале главы необходимо умножить на (-1), чтобы требовалась их максимизация согласно целям ЛПР. Тогда доминируемым оказывается вариант 3, так как он уступает варианту 2 по всем четырем частным критериям. Следовательно, множество Парето — Эджворта состоит из трех вариантов: «нулевого» (имеющего превосходство по второму показателю — затратам) и вариантов 1 и 2.

Вернемся от дискретного множества альтернатив (пример при наличии четырех критериев) к замкнутой области (пример области как множества альтернатив). Применение угла предпочтения для построения Р^Х) для области как множества альтернатив иллюстрирует рис. 9.4.

Хотя построить угол предпочтения в каждой точке рассматриваемой области нет возможности, но последовательное исключение из множества У основных его частей позволяет достаточно быстро определить РДХ).

На первом шаге исключаются все внутренние точки множества У, так как пересечение окрестности любой внутренней точки М с построенным в этой точке углом предпочтения (см. рис. 9.4) — не пустое множество. Следовательно, точки этого множества будут доминирующими по отношению к вершине М, и она не может быть образом точки множества Парето — Эджворта.

Рис. 9.4. Углы предпочтения для точек D, Е> М области возможных оценок У в двумерном критериальном пространстве и соответствующий фронт Парето

Обратите внимание!

Образ множества Парето — Эджворта области альтернатив X полностью состоит только из граничных точек соответствующей области векторных оценок У. Именно поэтому его называют фронтом (или границей) Парето.

На втором шаге, после отбрасывания всех внутренних точек, исключаются те граничные точки множества У, в которых вектор локальной нормали имеет хотя бы одну неотрицательную компоненту.

На рис. 9.4 такими будут все точки отрезков АВ, АН и СН (кроме точек А и С), а также частично — точки отрезков СГ) и ЕР. Эти точки будут доминируемы ближайшими отрезками границы, попадающими в угол предпочтения.

На третьем шаге исключаются граничные точки множества У, доминируемые удаленными точками границы, попадающими в угол предпочтения. На рис. 9.4 это — оставшиеся части отрезков СО и ЕГ (включая точки О и Е), доминируемые точками С и Е соответственно.

Обратите внимание!

Хотя исходная область X и область возможных оценок У — связные множества, но фронт Парето таковым не является, т.е. состоит из трех отдельных участков.

Таким образом, окончательно множество Парето — Эджворта для примера (область как множество альтернатив) состоит из всех точек х, отвечающих фронту Парето: криволинейным отрезкам границы ВС, FG (включая концы В, С, Т, С) и ОЕ (не включая концы О и Е).

Из рис. 9.4 нетрудно увидеть существенную особенность структуры фронта Парето (а значит, и множества Парето — Эджворта): при любом, сколь угодно малом повороте области У к фронту Парето добавляются заметные (не малые) участки. При повороте по часовой стрелке добавляется отрезок АВ, а при повороте против часовой стрелки — отрезок СЯ. Подобное поведение характеризует неустойчивость множества Парето — Эджворта.

Обратите внимание!

Множество Парето — Эджворта и фронт Парето неустойчивы относительно малых преобразований, в том числе и линейных преобразований критериального пространства.

Данное утверждение относится не только к приведенному на рис. 9.4 случаю области У, но и к дискретной ситуации.

Обратите внимание!

Неустойчивость множества Парето — Эджворта и фронта Парето относительно малых (в том числе и линейных) преобразований критериального пространства в дискретном случае может приводить к резкому изменению чисел отбрасываемых и остающихся в множестве Парето — Эджворта альтернатив.

Например, пусть множество возможных векторных оценок У имеет вид не области, а дискретного набора, состоящего из точек А, В, С, и еще семи точек, расположенных на отрезке АВ между точками А и В. Тогда нетрудно установить, что фронт Парето содержит всего две точки: В и С, так как все точки отрезка ЛВ, включая альтернативу Л, доминируемы вариантом В. Однако поворот множества У в критериальном пространстве на любой, сколь угодно малый, угол по часовой стрелке (что отвечает малому линейному преобразованию критериев) немедленно приводит к тому, что все 10 точек окажутся в множестве Парето — Эджворта (т.е. их количество увеличится в пять раз), поскольку ни одну из 10 точек нельзя будет признать доминируемой.

Рисунок 9.4 демонстрирует еще одну важную черту множества Парето — Эджворта: для его построения непригодны методы линейной оптимизации, включая широко распространенные симплексные методы.

Обратите внимание!

Симплексные методы строят только эффективные вершины, т.е. вершины выпуклого многогранника, в то время как множество Парето — Эджворта даже в линейном случае может оказаться невыпуклым. Следовательно, набор вершин не дает полного представления о его структуре.

На рис. 9.4 отрезок ВЕпредставляет собой ту (весьма значительную) часть множества Парето — Эджворта, которая не может быть найдена симплекс- методами, так как по самой структуре алгоритма всегда будет ими проигнорирована. Между тем на практике именно на этом отрезке может оказаться векторная оценка альтернативы, которая будет оптимальной для ЛПР.

Резюмируя все сделанные выводы, можно заключить, что геометрическая интерпретация множества Парето — Эджворта и фронта Парето с помощью угла предпочтения позволяет наглядно продемонстрировать их структуру.

Обратите внимание!

Наглядно представить как процесс нахождения множества Парето — Эджворта РДХ), так и получаемые результаты в задаче принятия решений по двум критериям эффективности позволяет упрощенная геометрическая интерпретация. Особенности структуры множества Парето — Эджворта и его образа в критериальном пространстве — фронта Парето — проявляются в их неустойчивости относительно малых преобразований (в том числе и линейных) критериального пространства, несвязности Р^Х) (даже для связных исходных множеств вариантов и их векторных оценок) и в невозможности нахождения линейными методами — в частности, широко распространенными симплексными методами.

Отметим, что задачи, подобные рассмотренным в примере для четырех критериев и на рис. 9.4, могут быть решены и другим способом — путем уменьшения числа критериев с помощью объединения отдельных частных критериев. Исторически первым из таких приемов был метод «стоимость — эффективность».

Исследование, описанное в статье про Особенности структуры множества Парето - Эджворта; угол предпочтения и геометрическая интерпретация, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое Особенности структуры множества Парето - Эджворта; угол предпочтения и геометрическая интерпретация и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория принятия решений