Лекция
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameПривет, Вы узнаете о том , что такое Бинарные отношения., Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое Бинарные отношения. , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория принятия решений.
Определение
Говорят, что на произвольном множестве X задано бинарное отношение <р (или >Ху или V), если определено некоторое подмножество ф декартова произведения множества X на себя, т.е. ф с X X X. При этом говорят, что элементы х'у х" е X находятся в бинарном отношении ф, если (х х") ? ф, что записывается в следующем виде: дг'фл:", или х' >хх", или х' Vх".
Обратите внимание!
Бинарное отношение ф на множестве X — это множество, элементами которого являются упорядоченные пары элементов их на X, при этом если это множество содержит пару е ф, то вместо такой записи часто просто пишут х' ух” или
х*>хх"1.
Примеры бинарных отношений.
Определим важные для дальнейшего материала учебника следующие четыре бинарные отношения >, >, >, ф на 9?т:
• а у Ь, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play game1 Верников Б. М. Бинарные отношения [Электронный ресурс], и И Б: http://kadm.imkn.urfu.ru/ filesZalggeom02.pdf (дата обращения: 04.08.2015).
Название последнего отношения объясняется тем, что именно в таком лексикографическом порядке происходит запись всех слов русского языка в любом словаре .
Выделим несколько важных видов бинарных отношений.
Определение
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameрефлексивным, если для любого х е X выполняется .гср.г; иррефлексивным, если для любого х е X не выполняется х<рх; симметричным, если для любых х', х" е X из того, что х'ерх", следует, что выполнено х"(рх';
антисимметричным, если для любых х х" е X из того, что х' (рх" и х" ерт', следует, что это один и тот же элемент в множестве X, т.е. х' = х" е X; асимметричным, если для любых х х" е X из того, что выполняется х' (рх", всегда следует, что никогда не может выполняться соотношение х" (рх' транзитивным, если для любых х', х"' е X из того, что х' ф.т" и х" фд:"', сле
дует, что.г'ф.г'";
слабо связным, если для любых .г', д:" выполняется либо х' (рх", ли
бо х"(рх'.
При этом, если бинарное отношение является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, тогда его называют отношением эквивалентности (;или безразличия).
Нетрудно проверить, что приведенные выше примеры бинарных отношений обладают, например, следующими свойствами:
Обратите внимание!
При рассмотрении любой многокритериальной ЗПР с множеством допустимых решений X и заданным на нем отношением строгого предпочтения >х это отношение всегда будет бинарным отношением на множестве X, которое является асимметричным и иррефлексивным.
При этом векторный критерий /= (/,,/2, X —* 9?т позволяет ввести соответствующее отношение предпочтения на множестве возможных оценок Y = = Im(/) cz 9?w следующим образом: х', х" е X: х' >х х" => у' = /(д:') >у у” = =f(x") е Yа 9?"', что позволяет более наглядно производить анализ предпочтений ЛПР не только в множестве допустимых решений X, но и сравнение векторов в критериальном пространстве 9?"'.
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameБолее подробно взаимосвязь между отношением строгого предпочтения >х в ЗПР и векторными оценками в критериальном пространстве будет рассматриваться в гл. 9 при рассмотрении аксиом Парето.
Обратите внимание!
Общая постановка ЗПР при многих критериях в условиях определенности включает в себя:
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameЗаметим, что данное описание общей постановки ЗПР при многих критериях дано в терминах нахождения множества оптимальных (или наилучших) с точки зрения целей ЛПР управленческого решения из множества допустимых решений X. В то же время наличие векторного критерия /, как это было показано выше, позволяет достаточно легко переформулировать нашу многокритериальную ЗПР в терминах векторов из критериального пространства 9?'" и множества векторных оценок У = 1т(/) с 9?т1.
Обратите внимание!
Математическая модель решений ЗПР, которая учитывает состояние внешней среды и задание критериальных (оценочных) функций, в более общем виде будет рассмотрена ниже в заключительной части этого параграфа.
Математическая модель принятия решений в многокритериальной ЗПР с учетом состояния внешней среды представляет собой формализацию соответствующей задачи принятия решений (ЗПР). В силу важности этого материала остановимся более подробно на ключевых этапах построения такой модели. Поиск решения начинается с перечисления возможных (допустимых) вариантов решений и их исходов, затем производится оценка и анализ каждого исхода. Для построения модели необходимо задать следующие три множества:
X — множество допустимых альтернатив (действий, управленческих решений, стратегий, вариантов, планов, из которых ЛПР может выбрать только один элемент);
5 — множество возможных состояний среды, из которых может реализовываться одно и только одно состояние;
Я — множество возможных результатов или исходов, полученных в результате реализации принятого управленческого решения (событий, имеющих, если не задано ничего дополнительного, совершенно произвольную структуру).
Всегда предполагается, что множество X содержит не менее двух альтернатив — иначе надобность в принятии решения отпадает.
Лицо, принимающее решение, выбирает одну из возможных альтернатив, при этом каждый исход (результат) зависит как от выбранной альтернативы, так и от состояния среды. Таким образом, каждый исход г е Я мож-
но представить как результат действия некоторого отображения Е из прямого произведения двух множеств (т.е. из множества упорядоченных пар элементов двух множеств) в множество возможных результатов (исходов) /?, т.е.
Определение
Отображение Е: Ь'хХ- ? Я называется функцией реализации или функцией выбора управленческого решения или действия.
Обратите внимание!
Набор объектов (5, X, R, Е> составляет реализационную структуру задачи принятия решения.
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameОпределение
Критерием, заданным на множестве, называемом множеством альтернатив критерия, мы называем пару: признак и правило, позволяющую разбить заданное множество (но данному признаку с помощью заданного правила) на два непересекающихся и взаимно дополняемых подмножества, которым присваиваются два различных логических значения: {TRUE, FALSE} или соответствующие им индикаторные значения {1,0}.
Критерий всегда должен сопровождаться критериальной (оценочной) функцией, на основании которой реализуется правило, производящее разбиение. Критериальная функция всегда должна действовать из критериального множества в некоторое линейно упорядоченное множество. В случае, когда это линейно упорядоченное множество представляет собой подмножество вещественных чисел 9?, принято говорить об оценочной функции.
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameВ контексте нашего введенного формализма, т.е. реализационной структуры (5, Ху R, F)y и порядка важности решаемых задач множеством альтернатив критерия в первую очередь будет являться элемент структуры (X) - множество альтернатив управленческих решений, а во вторую очередь (S) - множество состояний среды, а если точнее — то множество вероятностных распределений на множестве состояний среды.
К эмпирическим критериям относятся статистические критерии проверки гипотез. Как раз в этом случае множеством альтернатив критерия является множество вероятностных распределений, заданных на множестве состояний среды.
Действие критерия проявляется уже на стадии формирования реализационной структуры. Так, говоря о «допустимых» стратегиях (альтернативах), мы по некоторому «стоящему за кадром» критерию отсеиваем все «недопустимые» стратегии. Для того, чтобы оценить «правильность» выбранного действия или принятого решения, ЛПР необходимо иметь критерий сравнения управленческих решений. Так как само по себе, в отрыве от результата, УР ничего не значит, и решения сравниваются по результатам (исходам), к которым они приводят, то возникает необходимость иметь критерий
(критерии) сравнения результатов. В этом случае множеством альтернатив критерия становится Я — множество результатов (исходов). Для такого критерия признаком будет предпочтительность (или приемлемость) того или иного результата, а правилом — следующее введенное отношение строгого предпочтения на множестве Я.
Строгое предпочтение г1 > г2 означает, что исход г, предпочтительней, чем г2, и нестрогое предпочтение г{ > г2 означает, исход г1 не менее предпочтителен, чем исход г2.
В случае, если ЛПР может оценить эффективность (равнозначные по смыслу термины: «полезность», «ценность») каждого исхода г е Я некоторым числом ф(г) из множества вещественных чисел 9?, то задается оценочная структура задачи принятия решений в виде пары (Я, (р), где функция
Определение
Функция (р называется оценочной (критериальной) функцией предпочтения, заданной на множестве Я всех возможных результатов (исходов), которые можно получить при реализации управленческих решений из заданного множества X — допустимых решений.
После того, как мы ввели понятие критериальной функции, на ее основе зададим операцию сравнения двух результатов гр г2 е Я по следующему признаку предпочтения
Говорят, что (оценочная) функция ф порождает (частичное) отношение порядка на множестве реализаций Я. Так как критериальная функция позволяет вычислять численное значение отношения предпочтения, то очевидным образом, на основе отношения строгого порядка на множестве вещественных чисел 9?, возникает правило, дающее предпочтения по данному критерию и, как следствие, позволяющее разбивать (на два подмножества, как требуется при разбиении в определении критерия, но и не только так) множество результатов в соответствии с признаком предпочтения.
Замечание. Отметим, что множество значений оценочной функции может влиять на формирование самой реализационной структуры ЗПР. Может так оказаться, что множество допустимых действий (альтернатив) X не дает ни единого приемлемого значения оценочной функции. Так, например, вы заходите в кафе пообедать и убеждаетесь, что за ваш бюджет вы не можете получить приемлемого полноценного обеда.
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play game
Правило же критерия, дающее здесь разбиение критериального множества альтернатив, реализуется заранее, «за кадром», на основе, возможно, индивидуального представления ЛГ1Р о «хорошем» и «плохом» исходе. При этом заметим, что данной модели оценочной структуры исходы, принадлежащие одному из множеств, между собой предполагаются несравнимыми (равноценными или эквивалентными с точки зрения ЛПР).
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play game
Здесь значением признака сравнения г будет значение, которое приняла ф(г), а правилом, порождающим разбиение R = R° U /?*, будет правило сравнения с критическим значением с* е 9?.
Более общим случаем будет выбор некоторого (открытого) подмножества вещественных чисел Х0 а 9?, которое принято называть критическим, задающего разбиение множества исходов следующим образом
Заметим, что критерии такого типа применяются, например, в задачах проверки статистических гипотез при построении критериев согласия.
Пример: компания опубликовала объявление о приеме на работу биз- нес-информатиков в возрасте от 20 до 50 лет. Тогда критическим множеством «хороших» исходов для претендентов будет интервал их возраста — 120, 501-
Логические значения множеств {R°, R*} могут меняться местами в зависимости от предпочтений.
Определение
Целевой функцией / заданной ЗПР будем называть последовательное применение функции реализации и оценочной функции (композицию, суперпозицию соответствующих функций)
Вещественное число /($, х) е 9? отражает полезность (ценность, эффективность) того исхода, который получается в ситуации, когда ЛПР выбирает управленческую альтернативу х € Х} а среда принимает некоторое состояние 5 е 5. Заметим, что в экономике (да и политике) нередко можно столкнуться с ситуацией, когда выбор полезности влияет на состояние среды. «Полезность» пушнины, например, приводит к перманентному уменьшению соответствующих животных в лесах и, в лучшем случае, — к появлению ферм по их искусственному выращиванию. Полезность рождает спрос -» —*• спрос рождает предложение —*? предложение меняет состояние среды.
В случае, когда Л ПР стремится к увеличению значения функции/, выбирая управленческую альтернативу, то говорят, что / показывает ценность, эффективность или выигрыш. В противном случае, при стремлении ЛПР к уменьшению значений /эта выражает потери, проигрыш, ущерб, риски.
Заметим, что оценочная структура ЗПР носит субъективный характер: оценивание исходов производится сточки зрения принимающего решение. Наиболее распространенным является задание оценочной структуры в виде оценочной функции ф или целевой функции /.
В зависимости от информации, которую имеет при принятии решения ЛПР относительно состояния внешней среды, различают несколько основных типов задач принятия решения. Приведем их классификацию по этому признаку.
Game: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play gameGame: Perform tasks and rest cool.5 people play!
Play game
Комментарии
Оставить комментарий
Теория принятия решений
Термины: Теория принятия решений