Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО Доминирование по Парето, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО Доминирование по Парето , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория принятия решений.
Математическая постановка многокритериальной задачи принятия решений формулируется в виде проблемы оптимизации векторного критерия /(х) = (/Дх),/2(х), ...,/т(х)), называемого также векторной оценкой решения, заданного на множестве альтернатив (или вариантов), т.е. на множестве всех возможных решений X. Отдельные компоненты/Дх), к = 1,2,т, выражающие стремление ЛИР достичь одной из т заданных целей, представляют собой частные критерии. В роли функций /Дх) чаще всего выступают или показатели качества (технические, экономические и т.н., показатели надежности, безопасности), или финансовые величины (стоимость реализации проекта, прибыль, затраты и т.д.). В зависимости от содержания проблемы функции /Дх) именуют критериями оптимальности, критериями эффективностиу целевыми функциями, показателями (или критериями) качества. Оптимизация частных критериев /Дх) предполагает один из двух вариантов:
Оба вида оптимизации эквивалентны, так как минимум любого из критериев несложно превратить в максимум путем линейного преобразования шкалы с отрицательным коэффициентом (например, умножив /Дх) на -1). На практике обычно выполняют преобразование М - /Дх), где константа М выбирается превышающей максимальное значение функции /Дх), т.е. преобразованный критерий М - /Дх) остается неотрицательным. Такой переход от минимума к максимуму удобен для совместного описания всех видов критериев /Дх), заданных на множестве решений X, так как нет необходимости изучать отдельно каждый из двух видов оптимизации. Поэтому в дальнейшем для простоты и наглядности (не теряя общности) будем считать, что цель ЛПР — достичь максимума по всем компонентам вектора/(х).
Обратите внимание!
Будем предполагать, что все частные критерии /Дх) преобразованы так, что они требуют максимизации согласно целям ЛПР.
Отметим, что в некоторых монографиях по теории принятия решений, напротив, частные критерии /к(х) преобразуются гак, что они требуют минимизации согласно целям ЛПР.
Все т критериев /к(х) объединяют в один вектор, несмотря на то, что они, как правило, заданы в различных шкалах и единицах измерения. Более того, некоторые из них могут быть количественными, а другие — качественными. Можно рассматривать критерии и как нечеткие числа. Вес эти соображения нс препятствуют рассмотрению оценок решения (/,(х),/2(х),... ,/„,(•*)) как элементов линейного векторного пространства 'Л"'.
Определение
Все возможные значения векторных оценок (г/,, у2 ут) = (/[(х),/2(х), ...,/т(х))
образуют множество У возможных оценок. Это множество лежит в т-мерном векторном пространстве Л™, которое называется критериальным пространством-. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . У с Л'".
Необходимость совместного, т.е. векторного рассмотрения, т критериев /,(х),/2(х), ...,/т(х) диктуется требованием корректного определения понятия доминирования, т.е. задания отношения порядка в критериальном пространстве. Главное отличие многокритериальной задачи принятия решений от однокритериалыюй состоит именно в различных свойствах отношений порядка в пространствах Л и Лт.
Если ЛПР преследует единственную цель, которую можно охарактеризовать количественно (например, прибыль), то соответствующее критериальное пространство Л — линейно упорядоченное множество . Это означает, что любые оценки /(х{) и /(.г2) двух альтернатив xi и х2 всегда связаны либо отношением/(х,) </(х2), либо/(х2) 2)). Однако многомерное пространство Л'п при т > 2 не является линейно упорядоченным множеством.
Обратите внимание!
Практический смысл отсутствия линейной упорядоченности при т > 2 заключается в том, что локальные цели ЛПР, соответствующие различным компонентам Ук(х) векторного критерия, чаще всего оказываются взаимно противоречивыми.
Иначе говоря, функции /к(х) в большинстве ситуаций принимают максимальные значения в различных точках множества альтернатив X. Например, повышение качества приобретаемого товара почти всегда означает более высокую цену, т.е. две цели ЛПР (купить дешевле и приобрести товар высокого качества) противоречат друг другу. Поэтому идеальный с точки зрения ЛПР вариант одновременного максимума всех критериев/к(х) практически никогда не достижим на существующем в реальности множестве альтернатив. В рассмотренном случае — самый дешевый и самый высококачественный товары почти всегда различны.
Однако отсутствие линейной упорядоченности в 'У?'" еще не означает полного отсутствия порядка. Действительно, рассмотрим отношение порядка у > у * в пространствебазирующееся на бинарном отношении порядка г/, > у* в 9?', т.с. определенное соотношением 
Определение
Векторная оценка у называется доминирующей по отношению к у*, а у* — называется соответственно доминируемой, если эта пара оценок удовлетворяет отношению порядка (9.1): у > у*.
Смысл понятия доминирования — его можно трактовать как отношение строгого предпочтения векторных критериев. Действительно, векторный критерий оптимальности в задаче многокритериального выбора выражает те же самые интересы ЛПР, что и введенное ранее отношение предпочтения на множестве альтернатив X. Поэтому отношение порядка на множестве У возможных оценок у =/(х) взаимосвязано с отношением предпочтения на множестве альтернатив X. Последнее (предпочтение ЛПР на множестве вариантов X) формализуется математически следующим образом.
Определение
Альтернативы хк и хк называются удовлетворяющими отношению строгого предпочтения >, если из пары решений х} и хк ЛПР всегда выбирает (отдает предпочтение) первому из них, считая его лучшим (более эффективным). Обозначение: х) > хк.
Данное определение позволяет распространить понятие доминирования, введенное для векторных оценок, на альтернативы.
Определение
Альтернатива х называется доминирующей но отношению к х*, а х* называется соответственно доминируемой, если эта пара решений .г и .г* удовлетворяет отношению строгого предпочтения: х > х*.
Таким образом, понятие доминирования по Парето в целом объединяет два определения доминирования в двух различных пространствах (в критериальном и в пространстве вариантов).
Обратите внимание!
Доминирование по Парето — совокупность отношений порядка на множествах вариантов X и их векторных оценок У, характеризующая предпочтения ЛПР. Выделение доминирующих и доминируемых альтернатив позволяет выбросить из рассмотрения заведомо нс эффективные с позиции ЛПР решения (нс отвечающие сформулированным критериям) и тем самым — сократить число сравниваемых альтернатив.
Возникает вопрос о взаимосвязи двух определений доминирования — на множествах альтернатив X и векторных оценок У.
Эта взаимосвязь формулируется математически в виде аксиомы Парето (Вильфредо Парето (1848—1923) — итальянский экономист и социолог ).
Аксиома Парето
Любая пара альтернатив х и х*} векторные оценки которых (г/,, у2,.... ут) = (/,(х), 1>(х),„(.г)) и (у*, у2, .... г/*) = (/,(х*),/2(х*), (.г*)) удовлетворяют отношению порядка у > у*, удовлетворяет также отношению строгого предпочтения альтернатив х > .г*.
В соответствии с формулой (9.1) векторные оценки (г/,, у2,... , ут) удовлетворяют здесь набору неравенств у, > у*, у2 > у2,.... ут > у*т, причем одно из этих неравенств (для некоторого номера к) — строгое: ук > ук.
Аксиома Парето выражает факт взаимной согласованности предпочтений и критериев оптимальности ЛПР. Иначе говоря, суждения ЛПР, не удовлетворяющие аксиоме Парето, считаются нелогичными (противоречивыми). С точки зрения здравого смысла нарушение аксиомы Парето объясняется в первую очередь неполнотой набора критериев. Действительно, если ЛПР из двух вариантов х и х* нс предпочло альтернативу х, имеющую превосходство по одному из критериев ук и не уступающую по всем остальным критериям, — значит, существует критерий, не вошедший в рассматриваемый набор из т критериев, который помешал ЛПР сделать выбор .г > х*. В этом случае необходимо лишь дополнить список критериев. Поэтому на практике аксиому Парето всегда считают выполненной.
Исследование, описанное в статье про ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО Доминирование по Парето, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО Доминирование по Парето и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория принятия решений
Комментарии
Оставить комментарий
Теория принятия решений
Термины: Теория принятия решений