Банаховая алгебра над комплексным или действительным полем кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое банаховая алгебра, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое банаховая алгебра , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Функциональный анализ.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

.

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом 1, что для всех x∈A справедливо x1=1x=x ). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру A можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру Ae в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

• Поля комплексных чисел или действительных чисел — и относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
• Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
• Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
• C(Ω) — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где Ω — локально компактное пространство.
• Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
• Если G — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара μ, то банахово пространство интегрируемых относительно меры μ комплекснозначных функций на G является банаховой алгеброй относительно умножения-свертки, определяемой по формуле

.

• — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
• C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой:

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остается справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов Inv(A) алгебры A является открытым множеством. При этом отображение Inv, сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, Inv(A) — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: xy−yx≠1  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что λ1, λ≠0 также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна C.

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент a∈A алгебры A называется обратимым, если найдется такой элемент , что . Спектром σ(a) элемента a называется множество таких что элемент a−λ1 необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта спектр элемента w из алгебры C(K) , определяемого по формуле w(z)=z, совпадает с , поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом r(x) элемента x∈A называется величина

.

Справедлива формула Берлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

Резольвентным множеством элемента a∈A называется множество . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента a∈A называется функция комплексной переменной , определяемая формулой . Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если — голоморфная в окрестности спектра σ(a) функция, можно определить по формуле

,

где γ — спрямляемый жорданов контур, лежащий в D, содержащий спектр элемента x и ориентированный положительно, а Ra — резольвента элемента a. В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, b ∈ A справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и C. Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если m — максимальный идеал, то факторалгебра A/m является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна . Поэтому каждому максимальному идеалу m можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = m. Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма A/m в C. Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A^*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента a алгебры A называется непрерывная функция , определяемая по формуле для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех ее максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

Банахова *-алгебраА — это банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением обладающий следующими свойствами:

1. для всехх∈А(поэтому карта является инволюцией ).
2. для всехх,у∈А.
3. для каждогоλ∈С и каждыйх∈А; здесь, обозначает комплексное сопряжениеλ.
4. для всех х,у∈А.

Другими словами, банахова *-алгебра — это банахова алгебра над это также *-алгебра .

В большинстве естественных примеров также наблюдается изометричность инволюции , то есть‖х∗‖=‖х‖ для всех х∈А.Некоторые авторы включают это изометрическое свойство в определение банаховой *-алгебры.

Банахова *-алгебра, удовлетворяющая‖х∗х‖=‖х∗‖‖х‖является C*-алгеброй .

Основные области применения

Банаховы алгебры применяются в функциональном анализе, спектральной теории операторов, гармоническом анализе и квантовой физике. Они служат универсальным языком для описания операторов, спектров и алгебраических структур, связанных с бесконечномерными пространствами.

• Спектральная теория операторов

  • Банаховы алгебры позволяют изучать спектр линейных операторов (например, в гильбертовых пространствах).

  • Это важно для анализа дифференциальных уравнений и динамических систем.

• Алгебры операторов

  • Алгебры ограниченных операторов на гильбертовом пространстве — классический пример банаховой алгебры.

  • Они лежат в основе теории C∗C^*-алгебр, которая используется в квантовой механике и квантовой теории поля.

• Гармонический анализ

  • Алгебры функций (например, L1L^1-алгебра на группе) применяются для изучения преобразования Фурье и анализа сигналов.

  • Это связывает банаховы алгебры с теорией представлений групп.

• Квантовая физика и статистическая механика

  • C∗C^*-алгебры и их обобщения используются для формализации физических систем, где операторы описывают наблюдаемые величины.

  • Банаховы алгебры дают строгий математический аппарат для квантовой теории.

• Теория вероятностей и стохастические процессы

  • В некоторых случаях алгебры функций применяются для описания случайных величин и операторов перехода.

Примеры банаховых алгебр

• Алгебра всех ограниченных линейных операторов на гильбертовом пространстве.

• Алгебра непрерывных функций на компактном множестве с нормой супремума.

• Алгебра интегрируемых функций L1(G)L^1(G) на локально компактной группе с операцией свертки.

Итог

Банаховы алгебры — это мост между алгеброй и анализом. Они применяются там, где нужно одновременно учитывать структуру пространства и операцию умножения: от чистой математики (спектральная теория, гармонический анализ) до прикладных областей (квантовая физика, теория сигналов).

• Приблизительная идентичность
• Гипотеза Капланского – Многочисленные гипотезы математика Ирвинга Капланского
• Операторная алгебра – Раздел функционального анализа
• Граница Шилова
• гипотеза Капланского
• Унитаризованная версия нормированной алгебры
• Приближение к единице

Исследование, описанное в статье про банаховая алгебра, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое банаховая алгебра и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Функциональный анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про банаховая алгебра