Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое взаимосвязь видов ма тических моделей многомерных систем, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое взаимосвязь видов ма тических моделей многомерных систем , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические основы теории автоматического управления.

Выше были рассмотрены два вида моделей многомерной системы. Установим связь между этими двумя видами. Так как исходной базой для математических моделей являются дифференциальные уравнения, то логичным будет определить связь уравнений состояния с передаточными матрицами САУ. Для этого применим преобразование Лапласа к уравнениям состояния и выхода

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(1)

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(2)

при нулевых начальных условиях, заменим оригиналы переменных изображениями по Лапласу и получим систему векторно-матричных операторных уравнений

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(3)

Определим связь между вектором входа и векторами состояния и выхода. Из первого уравнения системы (3) имеем –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

и если матрица 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем не вырожденная, то есть 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем, получим –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(4)

Откуда следует, что

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(5)

Подставив (4) в (3), получаем –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем,

В результате получаем –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(6)

Вспомним, что компонентами эквивалентных матриц являются передаточные функции системы. Следовательно, выражения (5) и (6) представляют собой универсальные формулы для вычисления всех необходимых для анализа передаточных функций многомерной системы, по которым могут быть получены структурные схемы и частотные характеристики.

Заметим, что каждый элемент эквивалентных матриц (передаточных функций) имеет, по определению обратной матрицы, сомножитель –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

То есть полином 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных системявляется общим знаменателем для всех передаточных функций, а уравнение –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(7)

является характеристическим уравнением системы.

Таким образом, мы не только получили связь между математическими моделями во временной и частотной областях, но и универсальные выражения для определения передаточных функций и характеристических уравнений любых линейных объектов или систем управления. Исходными параметрами для выражений (5),(6) и (7) являются матрицы параметров уравнений состояния и выхода. Выполнить преобразования (5),(6) и (7) можно с помощью компьютера, имеющего программы символьной математики, на пример, такие, как Mathematica 3.0 (4.0), разработанные Wolfram Research. в системах второго и третьего порядка эти преобразования можно производить и вручную.

Рассмотрим несколько примеров получения и преобразования моделей.

Пример

Рассмотрим объект, принципиальная электрическая схема которого показана на рис. 1.

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Рис. 1

Выполним для этого объекта следующие задачи:

  1. Получить уравнение состояния.

  2. Определить характеристическое уравнение объекта.

  3. Определить передаточную матрицу объекта.

 

Получение уравнения состояния

Запишем дифференциальные уравнения, описывающие процессы в схеме

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(8)

Зададим векторы состояния и входа:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Получаем, что 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(9)

Раскроем в (9) матричные скобки:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(10)

Приведем систему уравнений (8) к виду (10), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(11)

 

Определение характеристического уравнения объекта

Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (11), используя выражение (7) –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(12)

Подставив в (12) выражения для матрицы параметров 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем и единичной матрицы 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем, получим характеристическое уравнение

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(13)

 

Определение передаточной матрицы объекта

Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(14)

Матрица 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных системможет быть определена из (13)

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Определим обратную матрицу, помня о том, 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем– адъюнкт исходной матрицы представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы, а алгебраические дополнения определяются для каждого элемента исходной матрицы по следующему выражению –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем,

где 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем– минор исходной матрицы, полученный вычеркиванием 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем— ой строки и 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем-го столбца.

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Окончательно получаем –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Следовательно, получаем передаточные функции объекта

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Пример

Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (с постоянными магнитами) как объект управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(15)

где 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем– напряжение, подаваемое на двигатель, 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем– скорость и ток двигателя, 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем– параметры двигателя, соответственно момент инерции, сопротивление и индуктивность обмотки якоря, конструктивный коэффициент.

 

Получение уравнения состояния

Зададим векторы состояния и входа:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Получаем, что 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем. Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(16)

Раскроем в (16) матричные скобки:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(17)

Приведем систему уравнений (15) к виду (17), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния в развернутой форме

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(18)

 

Определение характеристического уравнения объекта

Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (18), используя выражение (7) –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(19)

Подставив в (19) выражения для матрицы параметров 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем и единичной матрицы 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем, получим характеристическое уравнение

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(20)

 

Определение передаточной матрицы объекта

Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

(21)

Матрица 15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных системможет быть определена из (20)

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Определим обратную матрицу –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Окончательно получаем –

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Следовательно, получаем передаточные функции объекта

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

 

Контрольные вопросы и задачи

    1. Поясните, как связаны между собой модели во временной и частотной области?

    2. Как определить по уравнению состояния характеристическое уравнение?

    3. Как определить по уравнению состояния матрицу передааточных функций системы?

    4. По уравнению состояния

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем,

описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы.

Ответ:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

    1. По уравнению состояния

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем,

описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы.

Ответ:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

    1. По уравнению состояния

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем,

описывающему многомерную систему, определить матрицу передаточных функций системы.

Ответ:

15 Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем.

Прочтение данной статьи про взаимосвязь видов ма тических моделей многомерных систем позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое взаимосвязь видов ма тических моделей многомерных систем и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические основы теории автоматического управления

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про взаимосвязь видов ма тических моделей многомерных систем

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.

создано: 2016-11-19
обновлено: 2021-03-13
130



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей

Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Математические основы теории автоматического управления

Термины: Математические основы теории автоматического управления