Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое квадратичная интегральная оценка с учетом производной, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое квадратичная интегральная оценка с учетом производной , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические основы теории автоматического управления.
Недостатком квадратичной интегральной оценки , как и предыдущих оценок, является то, что при минимизации оценки не накладываются ограничения на форму переходного процесса. На пример, показанные на рис. 1 графики – (а, б, в) могут иметь одинаковые значения существенно при этом отличаясь по форме переходного процесса.
Рис. 1
Кроме того, часто оказывается, что выбранные по параметры системы приводят к существенно колебательному процессу, большим производным из-за стремления приблизить процесс к идеальному скачку.
Поэтому используют еще один вид интегрально квадратичной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но и на скорость его изменения . Эта оценка имеет следующий вид –
(1) |
где – некоторая постоянная времени.
Разницу между оценками и можно представить графически, как это показано на рис. 2.
Рис. 2
То есть оптимизированный по переходный процесс стремиться к идеальному скачку, а оптимизированный по – к кривой экспоненциального вида, которая описывается следующим выражением –
.
Докажем последнее утверждение. Для этого проанализируем выражение (1).
,
с учетом того, что
,
получаем
(2) |
С учетом того, что последнее слагаемое в (2) является величиной постоянной –
,
квадратичная оценка будет иметь минимум при
(3) |
Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид –
,
а если перейти от ошибок к выходным переменным, то получим –
,
что и требовалось доказать.
Следовательно, выбирая параметры системы по , можно приблизить переходный процесс к экспоненте с заданной постоянной времени , тем самым вводится ограничение на скорость нарастания выходной величины .
Методика определения может быть аналогичной методике определения , рассмотренной выше, если представить квадратичную оценку с учетом производной в следующем виде –
,
где определяется по формулам для , но с учетом того, что порядок числителя – увеличивается на 1.
В теории автоматического управления используют квадратичные оценки с производными более высокого порядка (до ) для более точного задания желаемой формы переходного процесса, естественно, что при этом усложняется и процесс вычисления оценок.
Рассмотрим вычисление и использование квадратичных ошибок на примере.
Пример
В системе управления с передаточной функцией –
,
зададим :
из условия ,
из условия ,
и сравним переходные процессы для двух этих случаев.
Решение
Получим выражение для . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для этого преобразуем передаточную функцию системы к заданному виду
,
тогда получим
(4) |
Выражение для принимает вид –
(5) |
Определим компоненты (5) по параметра передаточной функции системы (4).
(6) |
Для нахождения определим (), при ,
,
Заменим в выражении (6) для первый столбец столбцом вида
.
Тогда получаем
.
Определим –
.
После подстановки полученных компонент в (5) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.
(5) |
Найдем выражение для частной производной по от выражения (5)
,
приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .
.
В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке значение –
(6) |
Передаточная функция системы при примет вид –
.
На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.
Рис. 3
Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,
(7) |
Определим по отработанной выше методике для –
,
выражение для берем из предыдущего случая –
.
Определим теперь . Передаточная функция системы для этого случая имеет вид –
,
тогда получим
(8) |
Выражение для принимает вид –
(9) |
Определим компоненты (9) по параметра передаточной функции системы (8).
(10) |
Определим коэффициенты –
.
не определяем, так как . Для нахождения определим (), при ,
,
Заменим в выражении (10) для второй столбец столбцом вида
.
Тогда получаем
.
После подстановки полученных компонент в (9) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.
(11) |
Окончательно получаем
(12) |
Найдем выражение для частной производной по от выражения (12)
,
приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .
.
В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке с учетом производной значение –
(13) |
Полагаем для определенности , тогда
.
Передаточная функция системы при примет вид –
.
На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.
Рис. 4
Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,
(14) |
Сравнивая переходные процессы, видим, что при оптимизации по квадратичной оценке с учетом производной () получили существенно меньшие значения перерегулирования и быстродействия, при более плавном нарастании переменной.
Дайте определение квадратичной интегральной оценки с учетом производной, поясните ее компоненты.
К какому виду стремиться переходный процесс при минимизации интегральной квадратичной оценки с учетом производной?
Как вычисляют квадратичную интегральную оценку с учетом производной?
Вычислите интегральную квадратичную оценку переходного процесса в системе с передаточной функцией –
,
если на вход системе подается единичная ступенчатая функция.
Ответ:
Интегральная квадратичная оценка .
Вычислите интегральную квадратичную с учетом производной оценку переходного процесса в системе с передаточной функцией –
,
если на вход системе подается единичная ступенчатая функция, а постоянная времени оценки .
Ответ:
Интегральная квадратичная оценка .
Определите параметр регулятора системы управления, обеспечивающий минимум квадратичной оценки
Ответ:
Параметр пропорционально-интегрального регулятора
Прочтение данной статьи про квадратичная интегральная оценка с учетом производной позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое квадратичная интегральная оценка с учетом производной и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические основы теории автоматического управления
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про квадратичная интегральная оценка с учетом производнойОтветы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.
Комментарии
Оставить комментарий
Математические основы теории автоматического управления
Термины: Математические основы теории автоматического управления